贝叶斯纳什均衡

定义

贝叶斯纳什均衡是不完全信息静态博弈的解概念。所谓不完全信息，指至少有一名参与者对其他参与者的收益函数或类型缺乏准确了解；所谓静态，指参与者同时行动，或后行动者无法观察到先行动者的具体选择^[1]。

用类型刻画私人信息后，博弈可写成 $G = \{A_1, \cdots, A_n; \theta_1, \cdots, \theta_n; p_1, \cdots, p_n; u_1, \cdots, u_n\}$，其中 $A_i$ 为行动集，$\theta_i$ 为参与者 i 的类型，$p_i$ 为参与者 i 关于他人类型的信念，$u_i$ 为依赖于类型的效用函数^[2]。

在该博弈中，纯策略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存的策略组合 $\{a_i^*(\theta_i)\}_{i=1}^{n}$：每个参与者 i 在给定自身类型 $\theta_i$ 与其他人的类型依存策略后，通过对他人类型按信念加权求期望，使自己的期望效用最大^[2]。由于策略随类型而变，均衡刻画的是「什么类型采取什么行动」的对应关系，而非单一的确定行动^[3]。

原理

求解不完全信息博弈的关键步骤是海萨尼转换。海萨尼的做法是引入一个虚拟参与者「自然」（Nature），由它先按某一概率分布为每个参与者抽取类型；该分布是共同知识，而每个人抽到的具体类型只有自己知道^[2]。经此转换，原本无法定义博弈规则的不完全信息问题，被改写为「完全但不完美信息」的两阶段博弈，第一阶段是自然选择类型，第二阶段是参与者同时行动^[1]。

均衡的条件可写作 $s_i^*(\theta_i) \in \arg\max \sum p_i(\theta_{-i}\mid\theta_i)\, u_i(s_i, s_{-i}^*(\theta_{-i}); \theta_i, \theta_{-i})$，其中 $p_i(\theta_{-i}\mid\theta_i)$ 是参与者 i 在自身类型为 $\theta_i$ 条件下关于他人类型的后验概率^[2]。这一表达与纳什均衡的形式相似，区别在于收益要按类型概率加权，因此贝叶斯纳什均衡可理解为经概率加权的纳什均衡^[2]。

若各参与者类型相互独立，则 $p_i(\theta_{-i}\mid\theta_i) = p(\theta_{-i})$，求解时只需计算期望收益而不必真正做贝叶斯推断；研究拍卖等问题时则常假设各人估值相互关联^[2]。当所有参与者的类型空间都只有一个元素时，贝叶斯博弈退化为完全信息静态博弈，可见后者是前者的特例^[2]。

发展历程

1967 年至 1968 年，海萨尼在 3 篇论文中提出处理不完全信息博弈的方法与相应均衡概念，即后来所称的贝叶斯博弈与贝叶斯纳什均衡；相关研究使他于 1994 年获得诺贝尔经济学奖^[4]。在此之前，由于支付函数不是共同知识，博弈规则被认为无法定义，此类博弈难以分析^[1]。

海萨尼在 1973 年进一步证明，完全信息博弈中的混合策略纳什均衡可以解释为不完全信息条件下纯策略贝叶斯纳什均衡的极限。混合策略所反映的不确定性，可以来自参与者不了解对手的类型，而不必理解为对手真的在随机抽签。

此后，研究者把这一静态概念向动态情形推广。泽尔腾的子博弈精炼纳什均衡与海萨尼的不完全信息静态贝叶斯均衡相结合，形成精炼贝叶斯纳什均衡，用于处理不完全信息动态博弈；它要求参与人对所处信息集持有信念，并在此基础上满足序贯理性。

应用

拍卖与招标是贝叶斯纳什均衡的典型应用领域。以一级密封投标、报价最低者中标为例，投标者只知道自己的生产成本，而对他人成本仅有概率判断；报价越低中标的可能性越大，但中标后的利润越薄。分析表明，均衡报价会高于自身成本，且这一差额随投标人数增加而缩小，因此扩大参与投标的企业数量对招标方有利^[3]。

市场进入博弈也是常用例子。进入者不清楚在位者是高成本还是低成本，只能给出概率判断；若认为在位者为高成本的概率超过某个临界值（如 0.2），进入的期望利润就高于不进入，均衡结果便是进入者选择进入，高成本在位者选择默许，低成本在位者选择斗争^[3]。产业组织中的古诺竞争，也可按同样思路处理厂商只知对手成本分布的情形^[1]。

在通信与网络资源分配研究中，信道状态被建模为参与者的类型，参与者按类型选择发射功率，期望速率的最大化问题也可用贝叶斯均衡框架讨论其存在性与唯一性^[5]。

局限

贝叶斯纳什均衡以共同先验假设为前提。分析者需要认定所有参与者关于类型分布的判断一致，且该分布为共同知识；有研究指出，这一假设在现实中并不容易满足，用该框架分析实际问题时应先检查其是否成立^[6]。

该概念只适用于静态（同时行动）的不完全信息博弈，参与者的信念在事前给定，均衡概念本身并未规定参与者如何依据博弈进程修正信念。因此，单靠它不足以说明不完全信息动态博弈的均衡结果，需要借助精炼贝叶斯纳什均衡等更强的概念。

纯策略贝叶斯纳什均衡未必存在，需把策略空间扩展到混合策略，即对每种类型在行动集上取一个概率分布；对有限的静态贝叶斯博弈，可证明混合策略贝叶斯纳什均衡存在^[7]。均衡的存在性也不意味着容易计算，多重均衡时的选择问题在一般博弈中仍然存在^[8]。

参见

• 纳什均衡 —— 贝叶斯纳什均衡是它在不完全信息条件下的扩展。

• 海萨尼转换 —— 求解贝叶斯纳什均衡所依赖的建模方法。

• 不完全信息静态博弈 —— 贝叶斯纳什均衡所对应的博弈类型。

• 精炼贝叶斯纳什均衡 —— 该概念向不完全信息动态博弈的推广。

• 约翰·海萨尼 —— 贝叶斯纳什均衡的提出者。

• 拍卖理论 —— 贝叶斯纳什均衡的重要应用领域。