等效应变是力学中把复杂应变状态下各个应变分量按一定方式组合成一个标量的应变度量,其数值与单向应变等效,又称相当应变、应变强度[1][2]。按米塞斯屈服准则定义的一种应用最广,称为冯·米塞斯等效应变(von Mises equivalent strain),为无量纲量。它把多轴问题折算为一维问题,便于用单向拉伸试验得到的材料曲线描述屈服、塑性硬化与疲劳损伤,是塑性力学、金属成形和有限元分析中的常用参量[3][4]。
定义
等效应变指把一般应变状态下的各个应变分量按一定方式组合后得到的应变值,其效果与单向应变等效,又称相当应变或应变强度[1][2]。它用单个标量概括一点的变形程度,去掉了应变张量中的方向信息,以便与单向试验结果比较[3]。等效应变是无量纲量。
最常用的等效应变依据米塞斯屈服准则定义,也称冯·米塞斯等效应变。用主应变表示时,它等于 $\varepsilon_{eq}=\sqrt{\frac{2}{9}\left[(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2+(\varepsilon_2-\varepsilon_3)^2+(\varepsilon_3-\varepsilon_1)^2\right]}$[5]。也可写成畸变部分的形式 $\varepsilon_{eq}=\sqrt{\frac{2}{3}e_{ij}e_{ij}}$,其中 $e_{ij}$ 为应变偏张量[6]。把同样的组合方式用于应力分量,得到的量是等效应力[3]。
原理
等效应变的组合方式与第四强度理论计算等效应力的公式相同,只需把式子里的应力分量换成相应应变分量[3]。以米塞斯准则为基础时,其思路是把一点的应变拆成体积改变与形状改变两部分,只保留反映形状改变的畸变部分,再合成为一个标量[6]。金属塑性变形通常假设体积不变,因此等效应变中不含静水应变成分:当三个正应变相等(例如都为 0.001)时,等效应变为 0[4]。
flowchart LR
A[应变张量] --> B[分解为体积改变与形状改变]
B --> C[取畸变应变张量]
C --> D[按米塞斯公式组合]
D --> E[标量等效应变]
在单向拉伸状态下,等效应变的数值等于轴向线应变;在纯剪切状态下,它等于剪应变的 $1/\sqrt{3}$[5]。材料不可压缩时,等效应力与等效应变互为能量共轭,两者的乘积相当于单位体积的变形功[5]。按列维—米泽斯增量理论,塑性应变增量与应力偏张量成正比,由此可以导出等效应变的增量形式[3]。累积等效塑性应变则通过对塑性应变率取范数再积分得到[7]。
发展历程
19 世纪后期,研究者开始从能量角度寻找材料屈服的条件。1885 年意大利数学家贝尔特拉密(E. Beltrami)建议用应变能密度作失效判据,波兰力学家胡贝尔(T. M. Huber)指出该判据在三向等压情形下不合理,并于 1904 年提出以畸变能密度判断屈服;1913 年德国力学家米塞斯(R. von Mises)提出用应力偏张量第二不变量描述屈服,1924 年德国力学家亨奇(H. Hencky)给出了畸变能解释[8]。这一准则后来被合称为胡贝尔—米塞斯—亨奇准则,也常简称为米塞斯准则,是强度理论中第四强度理论的核心[8]。
1928 年米塞斯又把该准则推广到各向异性材料,此后与之配套的等效应力、等效应变被大量用于塑性本构关系的描述[9]。20 世纪 70 年代以后,等效应变被引入混凝土等材料的损伤研究:1977 年达尔文与佩克诺德给出增量型等效单轴应变方法,马扎斯在混凝土多轴损伤模型中使用了等效应变概念[3]。
小变形阶段应力与应变的定义是唯一的,进入有限变形后则出现多种定义,米塞斯等效应变与亨基等效应变的差异正源于此[3][10]。近年仍有研究针对拉压性能不同的材料推导基于理想莫尔—库仑准则的等效应变,以弥补米塞斯等效应变不能反映静水压力的欠缺[11]。
应用
在塑性加工与金属成形分析中,等效应变常用来计算金属内部的变形功,使解析过程得以简化;由单向试验测得的等效应力—等效应变曲线又叫硬化曲线或变形抗力曲线,是描述材料成形性能的基本依据[2]。把多轴应力应变关系折算为单轴关系来研究材料模型,是国内外较常见的做法[3]。
在有限元分析后处理中,等效弹性应变、等效塑性应变与等效蠕变应变会分别输出,并与等效应力相互换算[4];商用软件 DIANA 也按米塞斯公式计算等效应变[12]。美国垦务局在一项钢结构试验的有限元分析中,用等效塑性应变的数值及其在相邻单元间的变化幅度来判断局部屈曲部位是否开裂[13]。
在疲劳寿命预测的局部应力—应变法中,等效应变被用作损伤参量,与应变—寿命方程配合可建立材料的应变寿命曲线,用于低周疲劳寿命估算[14]。模具等承受循环载荷的构件,也常借助等效应变与曼森—科芬方程的组合来估算寿命[15]。
局限
米塞斯等效应变只保留形状改变部分,不含静水应变分量,因而对静水压力不敏感;用它评价拉压性能差异明显的材料时,结果可能与实际不符[4][11]。针对这一问题,已有研究基于理想莫尔—库仑准则推导出拉伸、压缩、剪切等状态下的等效应变,使其能够反映静水压力的作用[11]。
把等效量当疲劳判据使用时,等效应力与等效应变对各方向的损伤作了平均化处理,不涉及裂纹萌生的具体方向面,也没有考虑平均应力的影响[14]。此外,按塑性力学定义累积得到的等效塑性应变,与有限元输出的等效塑性应变分量之间,只在比例加载的初始阶段且等效泊松比取 0.5 时才存在简单对应关系[4]。
有限变形条件下等效应变的定义并不唯一,米塞斯等效应变与亨基等效应变在简单剪切等大变形情形下给出的数值不同[10]。塑性理论中,也并非任意选定的应力与应变组合都能构成自洽的等效应力与等效应变[3]。由于等效量只是单个标量,仅凭其数值不足以判断破坏,还需结合相邻位置的应变变化幅度等信息[13]。
参见
参考资料
- 等效应变 . cnki.com.cn [引用日期2026-09-29]
- 百科_搜搜钢_中国领先的钢铁B2B电子商务平台、钢铁电子商务网站 . mysteel.com [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-等效应变 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- thy_post12 . bme.hu [引用日期2026-09-29]
- Von Mises Stress and Strain . csiamerica.com [引用日期2026-09-29]
- elife-109119-v1(PDF) . elifesciences.org [引用日期2026-09-29]
- AGOUZAL_EKI_2024(PDF) . hal.science [引用日期2026-09-29]
- 经典强度理论的历史演变对教学的启示 . cstam.org.cn [引用日期2026-09-29]
- Texto integral(PDF) . up.pt [引用日期2026-09-29]
- abstract . harvard.edu [引用日期2026-09-29]
- applmathmech.cn 上的网页 . applmathmech.cn [引用日期2026-09-29]
- DIANA User's Manuals . dianafea.com [引用日期2026-09-29]
- DSO-00-01(PDF) . usbr.gov [引用日期2026-09-29]
- hit.edu.cn 上的 PDF 文件 . hit.edu.cn [引用日期2026-09-29]
- Zr-4合金薄片材料的应变疲劳与寿命估算 被引量：11 . cqvip.com [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T07:25:27Z
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