穿越频率

定义

穿越频率用于刻画开环频率特性曲线与基准线的交点位置，在控制系统的频率域分析中分为以幅值为基准和以相位为基准两类。^[1]

幅值穿越频率记作 ωc，指开环传递函数的幅值等于单位值时所对应的最小频率，又称剪切频率、截止频率或增益交越频率。它在伯德图上表现为对数幅频曲线与 0 dB 线的交点，在奈奎斯特图上表现为开环轨迹与单位圆的交点。^[1][2]

相位穿越频率记作 ωg 或 ωπ，指开环频率特性的相位首次降至 -180° 时所对应的最小频率。它对应于伯德图上相频曲线与 -180° 水平线的交点，也对应于奈奎斯特图上开环轨迹与负实轴的交点。^[1][2]

原理

两类穿越频率分别由幅值条件和相位条件确定。幅值穿越频率满足开环幅值等于 1，换成对数形式即等于 0 dB：$|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1$ 相位穿越频率则由相角的取值给出：$\angle G(j\omega_g)H(j\omega_g)=(2k+1)\pi,\quad k=0,\pm1,\cdots$^[2][3]

穿越频率是定义稳定裕度的基准位置。在幅值穿越频率处，开环相位与 -180° 之差构成相位裕度，计算式为 $\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)$；在相位穿越频率处，该点幅值的倒数构成幅值裕度，用分贝表示即 $-20\lg|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|$。^[2][4]

从几何关系看，相位裕度相当于幅值穿越点与临界点之间的相位间隔，幅值裕度相当于相位穿越点与临界点之间的分贝间隔；当增益穿越点落在临界点右侧时相位裕度为正，当相位穿越点落在临界点下方时幅值裕度为正。^[5]

两类穿越频率与稳定裕度的对应关系可概括为：

flowchart TD

A[开环频率特性] --> B[幅值等于 1 处的频率]

A --> C[相位等于 -180° 处的频率]

B --> D[相位裕度]

C --> E[幅值裕度]

应用

在伺服系统的调校中，常先测出系统的频率响应，再由穿越频率处读取增益裕量和相位裕量，据此判断闭环是否稳定。工程经验取值为增益裕量 10~30 dB、相位裕量 30°~60°。^[6]

幅值穿越频率还与闭环带宽和响应速度相关：该频率越高，系统能够跟随的指令变化越快，但高频噪声更容易进入，稳定性也可能随之下降。^[4][7]

穿越频率同时可以作为控制器设计的指标。在增益与相位裕量设计曲线中，可以先给定一段相位裕量范围和一段穿越频率范围，再据此求出满足要求的控制器参数。^[5]

局限

一个系统可能存在多个幅值穿越频率和多个相位穿越频率，随之出现多组相位裕度和幅值裕度。并非每个交点都能给出有效裕度，只有会改变系统稳定性状态的那些交点才具有实际意义。^[5]

穿越频率处的裕度只反映相对稳定性，不足以单独说明性能的全部方面。仅给出幅值裕度或仅给出相位裕度都不充分，需要同时考虑两个指标；某些系统中两者的结论还可能不一致。^[7]

幅值穿越频率不能随意提高。执行器的时间常数、传感器测量带来的延迟与滞后、采样延迟、传动间隙、负载惯量以及未建模的机械谐振，都会限制系统带宽；当机械谐振频率较低时，通常要求系统带宽不超过它的五分之一。^[8]

穿越频率处对数幅频曲线的斜率也影响稳定性：斜率约为 -20 dB/十倍频时闭环系统稳定，达到 -40 dB/十倍频时可能稳定也可能不稳定，斜率更陡时一般不稳定。对非最小相位系统，用奈奎斯特图判断稳定性通常比用伯德图更合适。^[9]

参见

• 相位裕度 —— 在幅值穿越频率处定义，表示系统可承受的附加相位滞后量。

• 幅值裕度 —— 在相位穿越频率处定义，表示系统可承受的增益增大倍数。

• 伯德图 —— 通过对数幅频曲线与 0 dB 线、相频曲线与 -180° 线的交点读取穿越频率。

• 奈奎斯特图 —— 以开环轨迹与单位圆、负实轴的交点表征两类穿越频率。

• 稳定裕度 —— 由穿越频率处的幅值与相位关系定义的相对稳定性指标。