磁量子数

定义

磁量子数是描述量子态的一组量子数之一，它区分同一个角动量沿空间某一固定方向投影不同的状态^[1]。原子中电子的状态通常用主量子数 n、角量子数 l、轨道磁量子数 m_l 与自旋磁量子数 m_s 一组数值来标记，其中 m_l 也叫 m，用于区分给定亚层内可用的各个原子轨道^[1]。

对给定角量子数 l，m_l 的取值为 -l、-l+1、……、0、……、+l-1、+l 这些整数，总共有 2l+1 个^[2]。由此，s、p、d、f 亚层分别含有 1、3、5、7 个轨道，每个轨道最多容纳两个自旋相反的电子，这是元素周期表电子排布的基础之一^[1]。以 l=1 的 p 亚层为例，m_l 取 0 与 ±1 三个值，对应 3 个伸展方向不同的轨道，它们能量相同，属于简并轨道^[3]。

除轨道磁量子数外，还有与自旋角动量对应的 m_s、与总角动量 j 对应的 m_j、与核自旋 I 对应的 m_I 等^[1]。多电子体系常用大写字母表示总量，例如 M_L 表示原子中全部电子轨道角动量的 z 分量^[1]。对电子来说，自旋量子数 s 为 1/2，m_s 只能取 +1/2 或 -1/2，常被称作自旋向上与自旋向下^[2]。

原理

量子力学中，角动量的大小及其在某个方向上的分量都不能连续取值。轨道角动量的模为 $L = √(l(l+1))·ħ$，它在 z 方向的分量为 $L_z = m_l ħ$，ħ 为约化普朗克常数^[3]。磁量子数给出的是角动量矢量在选定方向上的投影，投影与矢量本身之间的夹角则决定该矢量的空间指向^[3]。

当原子处在磁感应强度为 B 的外磁场中时，磁矩与磁场的相互作用使能级发生移动，移动量取决于磁矩在磁场方向上的投影；由于 m_l 只有 2l+1 个分立取值，原本的一条能级在外场中分裂成 2l+1 个能量略有差异的子能级^[4]。同时，原子的角动量矢量会绕磁场方向作进动^[4]。这就是塞曼效应中谱线分裂的微观机制^[5]。

graph LR

A["角量子数 l = 1"] --> B["m_l = -1"]

A --> C["m_l = 0"]

A --> D["m_l = +1"]

发展历程

磁量子数的概念与光谱线在磁场中的分裂紧密相关。1896 年，荷兰物理学家塞曼发现把光源放入足够强的磁场后，原来的一条谱线会分裂成若干条偏振化的谱线，这一现象后来被称为塞曼效应^[5]。1902 年，塞曼与洛伦兹因研究磁场对光的作用而共同获得诺贝尔物理学奖^[5]。

1916 年，阿诺德·索末菲为解释此类现象提出空间量子化理论，认为原子的磁矩相对空间某一方向只能取若干分立取向^[6]。1922 年 2 月 8 日，斯特恩与盖拉赫让银原子束穿过非均匀磁场，观察到原子束分裂，从而在实验上证实了空间量子化的存在^[6]。

1925 年，乌伦贝克与古兹密特提出电子自旋假设，用自旋磁矩在磁场中的两个取向解释斯特恩-格拉赫实验的结果，自旋磁量子数 m_s 由此进入量子数体系^[7]。1920 年代中后期量子力学建立后，这一实验被重新解释：银原子的轨道角动量为零，其磁矩全部来自电子的自旋角动量，而空间量子化这一基本结论仍然成立^[6]。

应用

在光谱学中，磁量子数用于解释和计算塞曼分裂。谱线在磁场中分裂的条数与波长位移取决于参与跃迁的 m 值和朗德g因子，反过来，分裂模式可用于鉴定原子所处的状态^[8]。基于同样的原理，塞曼效应成为测量磁场的手段，例如冷原子喷泉钟就借助一阶塞曼分裂来评估其工作区域的磁场强度，并实现磁场矢量的远程测量^[9]。

天体物理领域用塞曼效应对遥远天体的磁场作遥感测量。1908 年，海耳在威尔逊山天文台通过测量太阳黑子光谱线的塞曼裂距，首次得到黑子区域的磁场强度^[10]。直到今天，太阳磁场的测量仍主要依赖这一原理，只是测量范围基本限于光球层^[10]。

在原子冷却与时间频率标准领域，塞曼效应被用于制作塞曼减速器，以降低原子束的速度，相关装置已成为原子光钟小型化研究中的组成部件^[11]。在化学分析与医学成像中，核磁共振成像、电子顺磁共振等技术的物理基础，同样与磁矩在外磁场中的分立取向有关^[4]。

局限

磁量子数只描述角动量在某一选定方向上的投影，并不能给出角动量矢量在空间中的完整指向。量子力学的不确定性原理不允许同时确定角动量的三个分量，所以矢量本身没有确定方向，一般只能确定其大小与其中一个分量^[12]。所谓“取向量子化”，指的就是这一投影取分立值^[13]。

在没有外磁场时，同一亚层中不同 m 值的轨道能量完全相同，属于简并轨道，取向差别不会直接反映在光谱上；只有加上磁场使简并解除，不同磁量子数之间的差别才可能被观测到^[3]。此外，能够观测到的跃迁还受选择定则限制，例如电偶极跃迁要求磁量子数的改变量为 0 或 ±1^[14]。

仅凭轨道磁量子数也无法解释全部实验事实。银原子束在非均匀磁场中恰好分裂为两束，起初无法用轨道角动量说明，直到引入自旋角动量才得到合理解释^[6]。另外，塞曼裂距与磁场强度成正比，磁场较弱时裂距过小而不易测量，早期观测方法只适用于黑子等强磁场区域，对约 500 G 以下的弱场无能为力^[10]。

参见

• 角量子数 —— 决定角动量的大小和原子轨道的形状，与磁量子数一起确定一条原子轨道。

• 主量子数 —— 决定电子所在的主壳层以及能量的高低。

• 电子自旋 —— 电子的内禀角动量，与自旋磁量子数相对应。

• 塞曼效应 —— 原子能级与谱线在外磁场中按磁量子数发生分裂的现象。

• 斯特恩-格拉赫实验 —— 首次在实验上证实角动量空间取向的量子化。

• 泡利不相容原理 —— 规定同一原子中不能有两个电子具有完全相同的四个量子数。