牛顿插值是数值分析中构造插值多项式的一种方法，它以差商作为各项系数，把经过一组离散数据点的多项式写成逐项累加的形式。与拉格朗日插值相比，其突出之处在于增添插值节点时只需补写一项，已有的计算结果仍可沿用。把差商换成有限差分后，还能得到适用于等距节点的向前、向后插值公式，使之便于在实验数据处理与数值计算中使用。[1][2]
定义
给定互不相同的节点 $x_0,x_1,\dots,x_n$ 及相应的函数值 $f(x_i)$，牛顿插值给出的是满足 $N_n(x_i)=f(x_i)$、次数不超过 $n$ 的多项式：
方括号内的量是函数关于这些节点的各阶差商：零阶差商就是函数值本身，高一阶的差商由低一阶差商递推得到。在节点互异的条件下，满足上述插值条件的多项式是唯一确定的，牛顿形式与拉格朗日插值只是同一个多项式的两种写法，取值结果完全一致。[5][6]
原理
一阶差商定义为 $f[x_0,x_1]=(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0)$，含义是函数在相应区间上的平均变化率；把一阶差商再作一次差商，就得到二阶差商，一般地有
差商有几个常用性质：它的值与节点的排列次序无关；同阶差商可以写成各函数值的线性组合；若函数在包含这些节点的区间上足够光滑，则 $m$ 阶差商可表示为某个内点处 $m$ 阶导数除以 $m!$。[5][7]
实际计算时习惯先列出差商表，逐列递推各阶差商，取表中对角线上的数值作为多项式各项的系数。由于高阶差商由低阶差商组合而成，增添一个新节点只需再多算一列，原有多项式不必推倒重来，这种便利在教材中称为承袭性。[1][8]
graph TD
A[输入节点与函数值] --> B[算出一阶差商]
B --> C[由低阶差商递推高阶差商]
C --> D[取差商表对角线作为系数]
D --> E[写出牛顿插值多项式]
节点等距时，即 $x_i=x_0+ih$，差商可以用步长 $h$ 与各阶有限差分表示，公式随之简化为牛顿向前插值公式；若把节点的先后次序颠倒过来，则得到牛顿向后插值公式。前者的近似效果在区间前段较好，后者适合区间后段，等距情形下的这类公式也叫格雷戈里-牛顿插值公式。[1][6]
插值多项式与原函数之差称为余项，可写成
发展历程
艾萨克·牛顿在 1670 年代研究用有限差分作插值，1676 年 10 月 24 日写给奥尔登堡(Henry Oldenburg)的信中已提到相关手稿；1687 年出版的《自然哲学的数学原理》第三卷引理五刊出了用差商构造插值多项式的公式。[9][10]
牛顿的相关手稿《微分方法》直到 1711 年才印行，其中写出了插值方程组却没有给出显式解；1730 年棣莫弗(Abraham de Moivre)在《分析杂录》中把这组方程的解明确写出，成为最早给出该显式解的人。[10]
同年，斯特林(James Stirling)发现当插值节点构成等比数列时，牛顿的一般插值级数可以大幅简化。[11]
1795 年，拉格朗日在巴黎高等师范学校的讲义中给出了另一种写法的插值多项式，即后来通称的拉格朗日插值公式；它与牛顿公式实质上是同一结果的不同表达。[12]
1840 年前后，柯西系统研究差商，给出了差商的均值公式与牛顿公式的余项；1842 年，德摩根(Augustus de Morgan)在《微分与积分学》中首次使用「差商」这一名称。[7][12]
应用
在只能测得离散数据点的场合，可以用牛顿插值构造近似解析式，对离散点作拟合，从而估算数据点之间的数值，常用于实验数据的整理与分析。[2]
节点等距时可导出等间距的牛顿插值公式[2]，其中向前插值公式在区间前段附近的误差较小，便于在数表首段求值。[1]
差商只与节点和函数值有关，与具体的求值点无关，只需算一次就能用于多个点的求值，因此在需要反复求取插值多项式值的场合，这种形式比内维尔-艾特肯算法更省计算量。[8]
牛顿本人在给出该引理之后还提出，可对插值多项式的多项式部分求积分，用以近似计算定积分，这一思路是数值积分公式的一个来源。[7]
历史上，差分与差商一类方法被用于编制对数表和三角函数表；巴贝奇(Charles Babbage)在 1820 年代设计的巴贝奇差分机，就是按差分原理实现多项式机械化制表的装置。[13]
局限
牛顿插值只是把同一个插值多项式换了一种写法，并不能回避多项式插值自身的困难。节点等距而次数较高时，插值曲线在区间靠近两端处会出现明显振荡，即龙格现象，这说明一味增加节点和数据点数量并不总能提高精度。[8]
高次多项式插值本身是病态问题，输入数据的微小变化可能引起结果的显著改变；若直接以范德蒙德矩阵求解多项式系数，这种敏感性尤为突出。[8]
承袭性也带来使用上的限制：新增节点必须排在已有节点的后面，否则原有的差商表无法直接沿用。[1]
数值实践中，即便节点选得比较合适，插值次数超过约 30 次后仍可能出现数值不稳定；工程上因此更常改用分段低次插值或样条插值来逼近复杂函数。[14][8]
插值仅保证在给定节点上取到已知函数值，节点之间的误差取决于函数的高阶导数与节点的分布方式；对于含有观测误差的数据，强行让高次多项式穿过每一个点并不合适。[7][8]
参见
参考资料
- slides_06B_Newton(PDF) . ecnu.edu.cn [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-牛顿插值公式 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-牛顿多项式 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- Newton 插值 . ustc.edu.cn [引用日期2026-09-29]
- §4 . xauat.edu.cn [引用日期2026-09-29]
- \[x = x_{0} + t\cdot \Delta x \quad (4)\] . sinica.edu.tw [引用日期2026-09-29]
- \[\frac{x}{p} \quad \frac{y}{P}\] . purdue.edu [引用日期2026-09-29]
- interpolating-polynomial . sciencedirect.com [引用日期2026-09-29]
- Electronic Transactions on Numerical Analysis . kent.edu [引用日期2026-09-29]
- arxiv.org 上的网页 . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- cambridge.org 上的网页 . cambridge.org [引用日期2026-09-29]
- REVUE D'ANALYSE NUMERIQUE ET DE THEORIE DE L'APPROXIMATION . core.ac.uk [引用日期2026-09-29]
- concepts . epfl.ch [引用日期2026-09-29]
- KroghInterpolator# . scipy.org.cn [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T11:51:26Z
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