熵权法

定义

设有 m 个被评价对象和 n 个评价指标，第 i 个对象在第 j 个指标上的观测值构成决策数据矩阵。熵权法的做法是先对原始数据作无量纲化处理，再逐项计算信息熵，最后按熵值大小分配权重 ^[6][1]。

按常见写法，记第 j 个指标下第 i 个对象所占的比重为 $p_{ij}=x_{ij}/\sum_{i=1}^{m}x_{ij}$，该指标的信息熵为 $e_j=-\frac{1}{\ln m}\sum_{i=1}^{m}p_{ij}\ln p_{ij}$，取值介于 0 与 1 之间，并规定 $p_{ij}=0$ 时 $p_{ij}\ln p_{ij}=0$ ^[6][7]。由差异系数 $d_j=1-e_j$ 归一化可得指标 j 的权重 $w_j=d_j/\sum_{j=1}^{n}d_j$，其中 $0\le w_j\le 1$ 且 $\sum_{j=1}^{n}w_j=1$ ^[2][8]。

得到权重后，各对象的综合得分由标准化值与相应权重相乘后加总，即 $S_i=\sum_{j=1}^{n}w_j x_{ij}$，据此排序或分等 ^[9]。不同文献所用的符号与标准化方式不尽一致，赋权依据均为熵值大小 ^[7]。

背景

在多指标综合评价中，指标权重是否合理直接关系到结论的可靠性，权重确定方式大致分主观赋权与客观赋权两类。主观赋权法依靠决策者或专家判断，例如层次分析法与德尔菲法，虽能容纳经验判断，但结果可能带有主观随意性，也容易受决策者知识与经验不足的影响 ^[10]。

客观赋权法转而以指标观测值所提供的信息为依据 ^[3]。熵权法的思路源自信息论：熵起初是热力学中描述系统无序或混乱程度的概念，1948 年香农把它引入信息论，用以度量信息源中信号的不确定性，形成信息熵 ^[8][6]。把信息熵用于赋权的基本理由在于，指标值的变异程度与其能提供的信息量相关，变异越大则信息量越多 ^[7]。

据已有研究，熵权法最早产生于社会科学领域，2005 年由邹志红等学者引入水质评价研究，其后在水资源、环境评价等方向获得较多应用 ^[11]。

内容

实施过程一般分为数据标准化、熵值计算和权重确定三个环节 ^[1]。由于各项指标的量纲与数量级不同，需先作无量纲化处理，常用方法有最小-最大标准化与 Z-score 标准化；对成本型指标，处理方向与收益型指标相反 ^[1][12]。

随后计算各指标的熵值与差异系数，并对差异系数作归一化，得到权重向量 ^[2]。熵权常被引用的性质包括：各对象在某指标上的取值完全相同时，该指标熵值达到最大值、熵权为零，可考虑从指标体系中剔除；取值相差较大时，其熵值较小、熵权较大，说明该指标能提供有用信息，应在评价中重点考察 ^[6][7]。

得到权重后，将其用于加权合成，即可对评价对象排序 ^[9]。实际研究中，熵权法常与 TOPSIS、灰色关联分析、模糊综合评价 等方法结合，形成基于熵权的组合评价模型，也有研究把熵权这类客观权重与层次分析法等主观权重耦合，以兼顾专家经验与数据差异 ^[1][5][12]。

影响与争议

熵权法已应用于环境评价、风险评估、企业管理、资源配置等多类多指标综合评价问题 ^[1]。国内相关应用研究覆盖水质评价、水资源承载力、耕地质量等方向，多与 TOPSIS 或层次分析法配合使用 ^[5][13]。

针对方法本身的质疑集中在赋权是否合理。有研究以地下水环境质量评价为例指出，熵权法只考虑指标在统计意义上的重要性，忽略了指标在水资源管理中的实际意义，可能使污染严重的指标权重偏小；其标准化过程还存在失真现象，可能使污染较轻的指标权重偏大，两者会使综合评价结果偏于乐观，因此求得的权重不宜直接使用，应先作合理性分析 ^[11]。

另有分析指出，熵权对熵值的变化高度敏感，指标数据的小幅改动就可能引起权重明显变动，权重的稳定性因此受到怀疑 ^[14][15]。也有评论认为，该方法对样本量要求较高，且难以稳定体现指标本身的重要程度 ^[16][12]。

指标熵值接近 1 时出现的权重失真曾引起讨论，有研究通过数学推导与青海省案例说明，该问题的发生条件相当苛刻、在实际中不易重现，并据此认为继续围绕这一问题的改进不应成为后续研究重点 ^[17][18]。国内亦有学者从统计方法论角度提出，该方法把数据离散程度等同于指标重要性这一核心假设缺乏严格论证，并给出替代性的赋权框架 ^[19]。

参见

• 信息熵 —— 熵权法计算权重所依据的核心概念。

• 层次分析法 —— 一种依赖专家判断的主观赋权法，常与熵权法组合使用。

• 德尔菲法 —— 另一种主观赋权方法，与熵权法在赋权思路上形成对照。

• TOPSIS —— 一种多准则决策排序方法，常与熵权法结合用于综合评价。

• 多指标综合评价 —— 熵权法最主要的应用场景。