测不准原理

定义

测不准原理又称不确定性原理、测不准关系，是量子力学中描述共轭物理量测量精度极限的关系式。它表明，粒子的位置与动量不能同时被确定：位置测得越清楚，动量的不确定程度就越大，反之亦然^[3]。这里的“不确定”指大量重复测量所得结果的统计涨落，而不是单次测量中仪器的误差。

该原理通常写成位置不确定度与动量不确定度之积不小于约化普朗克常数的一半，即 $\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2$^[4]。类似的约束也存在于能量与时间之间，形式为 $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2$^[5]。“测不准”这一旧称容易让人误以为问题出在测量手段上，因此现代文献多采用“不确定性原理”^[6]。

原理

在量子力学的数学表述中，位置算符与动量算符不对易，即两者的乘积与顺序有关。这一对易关系经过推导即可得到不确定度之间的关系式^[7]。位置不确定度 $\Delta x$ 与动量不确定度 $\Delta p$ 均以重复测量值的均方差来定义，原理约束的是两者的乘积，而非某一次测量的偏差^[8]。

海森堡最初用一个理想实验来说明这一关系：用波长极短的光照射电子以测定其位置，光子的波长越短、能量越高，与电子碰撞时对电子动量的扰动就越大；若改用波长较长的光，动量扰动减小，但位置的分辨能力又随之下降^[1]。这种“射线显微镜”式的解释直观易懂，但会引起误解，因为不确定性并非源自观测对客体的干扰，而是量子态本身的性质^[3]。

从波动图像看，粒子由波函数描述，波包在空间上越窄，其动量成分的分布就越宽，两者之间存在与此对应的对应关系，这正是位置与动量不确定度之积有下限的原因^[6]。宏观物体的位置与动量不确定度之积在数值上远小于可观测尺度，因此经典力学中观察不到这一限制^[4]。

发展历程

1927 年，海森堡在《物理学杂志》发表论文，提出位置与动量之间的不确定性关系，并借助理想实验加以说明^[1]。同年，厄尔·肯纳德(Earl Kennard)给出了以标准差表达的现代不等式形式，赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)于 1928 年也得到相应结果^[9]。

该原理的提出使量子力学在数学形式之外获得了理论解释^[10]。它引发了爱因斯坦与玻尔持续近 30 年的争论，爱因斯坦曾设计可移动狭缝等思想实验，试图论证能够同时获得位置与动量的信息，玻尔则指出这类方案仍受不确定性关系的限制^[11]。1935 年，爱因斯坦、波多尔斯基与罗森提出 EPR 思想实验，试图说明量子力学描述不完备^[12]。

应用

能量与时间的不确定关系解释了原子光谱的自然线宽：激发态寿命越短，能级宽度越大，对应的谱线就越宽；寿命较长的亚稳态能级很窄，因此激光的单色性较好^[5]。这一关系也用于分析不稳定粒子的质量宽度与超快激光过程^[13]。

在量子精密测量领域，不确定性关系决定了测量精度存在上限，即所谓海森堡极限，实验上通过制备量子纠缠态来逼近这一极限^[1]。量子通信中的安全性分析也建立在这一原理及相关量子特性之上^[8]。此外，由不确定关系可推出被束缚粒子存在非零的最低动能，束缚空间越小，最低动能越大，这一结论与零点能的存在相一致^[14]。

局限

不确定性原理只对共轭物理量对给出同时测量的下限，并不表示一切物理量都无法测准。以位置与动量为代表的对易量之间存在约束，而不对易量为零的物理量可以同时具有确定值^[6]。

“测不准原理”这一名称本身是一种局限：它暗示精度不足来自测量仪器的干扰或技术缺陷，实际上不确定性是量子态的内在属性，与测量手段的完善程度无关^[3]。此外，原理中能量与时间的不确定关系在数学地位上与位置—动量关系并不完全等同，时间在标准量子力学中一般作为参数而非算符出现，其确切含义在文献中仍有不同处理方式^[15]。

该原理对宏观与微观对象的约束程度差别极大。以动量相对不确定度相同的条件估算，宏观物体的位置不确定度远小于任何可观测尺度，因此在日常尺度上忽略这一限制不会带来实际误差^[4]。

参见

• 量子力学 —— 不确定性原理是这一理论体系的基本原理之一。

• 波函数 —— 描述量子态的数学工具，位置与动量的不确定度由其统计性质给出。

• 海森堡 —— 1927 年提出该原理的德国物理学家。

• 互补原理 —— 玻尔提出的相关原理，与不确定性关系共同构成量子力学的解释框架。

• EPR佯谬 —— 围绕量子力学完备性展开的思想实验，直接针对不确定性原理。