欧几里得几何学

定义

欧几里得几何学是以几何原本所给出的公理体系为基础的几何学，其全部结论均由逻辑演绎得出。^[1] 在现代的严格表述中，它对应希尔伯特公理系统：点、直线、平面为三个基本元素，结合、顺序、合同为三个基本关系，所有命题都由五组公理推出。

在解析几何的框架内，平面欧几里得几何可以表示为实数对的集合 $\mathbb{R}^2$，其中两点 $x=(x_1,x_2)$ 与 $y=(y_1,y_2)$ 之间的距离取 $d=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$，这一形式由勾股定理给出。^[2] 由此建立的模型说明，只要实数算术没有矛盾，欧氏几何便不会有矛盾。

背景

在欧几里得之前，古希腊人已经积累了大量几何知识，并开始用逻辑推理去证明某些命题，但这些成果彼此缺乏联系，也没有形成严格的体系。^[3]

约公元前300年，欧几里得把当时零散的几何与数的知识加以整理，写成13卷的《几何原本》，欧几里得几何学由此确立。^[3][4] 该书的重点不在于罗列结论，而在于用尽可能少的前提和演绎推理把全部内容组织成一个整体。^[1][5]

内容

《几何原本》第一卷开头先列出23条定义，随后给出5条公设和5条公理，作为全书推理的出发点。^[1]

五条公设是：由任意一点向任意一点可作直线；有限直线可以继续延长；以任意点为圆心、任意距离可以作圆；所有的直角都相等；一条直线与两条直线相交时，若在某一侧所成两个内角之和小于两直角，则这两条直线向该侧无限延长后相交。^[5][1] 最后一条即平行公设，其常见等价表述是：平面上经过直线外的一点，只能作出一条与它平行的直线。^[5][3]

五条公理属于适用于各类推理的一般原则，包括：与同一事物相等的量彼此相等；等量加等量所得相等；等量减等量所得相等；能够彼此重合的图形相等；整体大于部分。^[1][5] 欧几里得沿用了亚里士多德的区分，即公理对一切科学成立，而公设只用于几何。

以上述前提出发，全书共推出465个命题。^[4] 内容涵盖直边形与圆的性质、面积变换、比例论、相似形、数论、不可公度量、立体几何与穷竭法；其中前6卷讨论平面几何，最后3卷讨论空间几何，三角形内角和等于两直角、勾股定理等结论均由这些公设和公理导出。^[1][3]

影响与争议

在《几何原本》的公设中，第五公设自古代起就不断受到怀疑，因为它不像其余公设那样显而易见。^[5] 此后约两千年间，许多数学家试图只凭其他公设把它推导出来，结果都归于失败。^[6][5]

19世纪，高斯、罗巴切夫斯基与波尔约各自独立地认识到上述证明不可能实现，即平行公设独立于其他公理，可以用别的平行公理来替代。^[6] 罗巴切夫斯基与波尔约在1830年前后分别发表了相关理论。^[6][7] 在这类几何中，过直线外一点可以作出至少两条不相交的直线，三角形内角和小于两直角。^[6]

1854年，黎曼提出了另一种非欧几何，规定同一平面内任意两条直线必定相交，其中三角形内角和大于两直角。^[6] 1868年贝尔特拉米证明非欧几何可以局部地在欧几里得空间中实现，1871年克莱因建立了非欧几何的模型，从而把非欧几何的相容性归结为欧氏几何的相容性，非欧几里得几何由此获得普遍承认。^[6]

以现代标准衡量，《几何原本》并不严密：部分定义使用了本身尚待明确的概念，某些证明依赖图形的直观，而相应的假设并未列入公理。^[8] 1899年，希尔伯特出版《几何基础》，为欧几里得几何给出了完备的公理体系，包括结合、顺序、合同、平行、连续五组共20条公理，并要求公理系统满足相容性、独立性与完备性。^[9] 他借助笛卡儿模型，把欧氏几何的相容性归结为实数算术的相容性。 采用不同的公理组合会得到不同的几何，例如罗巴切夫斯基几何、射影几何与仿射几何。^[9] 时至今日，欧几里得几何仍是许多国家中学几何课程的基础。^[3]

参见

• 欧几里得 —— 古希腊数学家，《几何原本》的作者，本词条所讲几何学即以其公理体系为基础。

• 几何原本 —— 欧几里得几何学的奠基著作，也是最早的公理化数学著作之一。

• 非欧几里得几何 —— 改变平行公设后得到的一类几何体系。

• 希尔伯特公理系统 —— 19世纪末对欧几里得几何公理的严格化重建。

• 解析几何 —— 用坐标与方程研究欧几里得几何的方法。