棣莫弗公式

定义

棣莫弗公式断言,对任意实数 x 与整数 n,有 $(\cos x + i\sin x)^{n} = \cos(nx) + i\sin(nx)$,其中 i 是虚数单位,满足 i² = −1^[1]。式中的 $\cos x + i\sin x$ 是复数 z = r(cos θ + i sin θ) 在 r = 1 时的三角形式,θ 称为该复数的辐角^[3]。由于左侧底数的模为 1,公式也常缩写为 cisⁿx = cis(nx) 的形式^[2]。

把模长 r 一并考虑时,公式可写成一般形式 $[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)$^[4]。多个复数相乘时,结果的模等于各因子模之积,辐角等于各因子辐角之和,这一结论是棣莫弗公式的推广形式^[3]。

原理

公式的核心依据是复数的三角表示与三角函数的和角公式。设 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$,$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$,按复数的乘法法则展开并整理实部、虚部,可得 $z_1 z_2 = r_1 r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]$^[3][5]。这意味着复数相乘在几何上对应模长相乘、辐角相加,乘方因而可以归结为辐角的整数倍。

正整数情形可用数学归纳法证明。n = 1 时等式显然成立;假设 n = k 时成立,将两边同乘 $\cos x + i\sin x$,再对实部与虚部使用和角公式,即可得到 n = k + 1 时的结论^[4][6]。n = 0 时等式左右都为 1;对负整数,利用 $\cos n\theta + i\sin n\theta$ 与其共轭复数之积为 1 这一恒等式,可把结论由自然数推广到全部整数^[1]。

把实数 x 限制为实数时,展开等式左边并按二项式定理比较两边的实部与虚部,可以反过来把 cos nx 与 sin nx 表示成 cos x 与 sin x 的多项式^[2]。例如 n = 3 时由此可得三倍角公式^[4]。

发展历程

该结论以法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗(1667 年—1754 年)命名^[1]。他在 1707 年给出了这一关系,并于 1730 年正式发表,当时使用的表达形式与今天不同,但已经包含了定理本身的内容^[7]。另有文献指出,棣莫弗并未在其著作中以现在的写法陈述该公式^[2]。

在复数体系尚未完全建立之前,这一结果就已首次把复数纳入三角函数的讨论范围^[7]。此后瑞士数学家欧拉提出的欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ 与棣莫弗公式关系密切,用欧拉公式和指数运算律即可直接推出棣莫弗公式,由此也可以理解复数指数形式的乘法可加性^[2][3]。

现代教材通常把它表述为关于复数幂的恒等式,并在复数的三角表示、单位根与三角函数恒等变换等章节中讲授^[1][5]。

应用

求复数的整数次幂是其直接用途。把底数化为三角形式后,只需将模取 n 次幂、把辐角乘以 n,即可算出结果而无需逐次相乘^[6][7]。例如计算 $(\cos 3^{\circ} + i\sin 3^{\circ})^{40}$ 时,由公式直接得到 $\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}$,即 $-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$^[4]。

该公式也是推导倍角公式与多倍角公式的工具。通过比较等式两边的实部和虚部,可以得到用 cos x、sin x 表示 cos nx 与 sin nx 的表达式;由 cos nx 的展开式还联系到切比雪夫多项式^[4][2]。

在求复数方根方面,棣莫弗公式的推广形式给出了 z 的 n 次方根的表达式:若 $z = r(\cos x + i\sin x)$,则其 n 个 n 次方根为 $r^{1/n}[\cos((x+2k\pi)/n) + i\sin((x+2k\pi)/n)]$,其中 k = 0, 1, …, n−1^[6]。据此可以求出一元高次方程的全部复数根,例如方程 z³ = 1 的 3 个解分别是 1、$\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}$ 和 $\cos 240^{\circ} + i\sin 240^{\circ}$^[5]。

局限

按整数次幂表述的棣莫弗公式,对非整数指数不成立。推导过程依赖把复数取整数次幂,而当指数不是整数时,复数幂是多值的,同一表达式会得出不同的值^[2]。以 n = 1/2 为例,x = 0 时公式给出 $1^{1/2} = 1$,x = 2π 时却给出 $1^{1/2} = −1$,两者互相矛盾,因此该形式在非整数指数下不能作为恒等式使用^[2]。

不过,针对其他指数的推广形式仍然存在,可用于给出单位根即满足 zⁿ = 1 的复数的显式表达式,而这类推广需要额外说明辐角的多值性并限定取值范围,使用时不能直接套用整数情形的结论^[2][6]。

参见

• 欧拉公式 —— 把复指数函数与三角函数联系起来的公式,可由其推出棣莫弗公式。

• 复数 —— 棣莫弗公式所讨论的对象,公式给出其三角形式下的乘方规律。

• 三角函数 —— 公式右侧的 cos nx 与 sin nx 即由三角函数给出。

• 单位根 —— 满足 zⁿ = 1 的复数,可用棣莫弗公式的推广形式显式表示。

• 二项式定理 —— 展开公式左边后可比较实部虚部,导出多倍角表达式。

• 数学归纳法 —— 证明该公式对正整数成立所用的基本方法。