杨氏不等式

定义

杨氏不等式最常用的形式针对两个非负实数。设 $a, b \ge 0$，$p, q > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则 $ab \le \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}$，当且仅当 $a^{p} = b^{q}$ 时取等号。^[1][3] 满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 的两个指数 $p$、$q$ 互为共轭指数，其中 $q = \frac{p}{p-1}$。^[4]

更一般的形式以函数及其反函数的积分表述。若 $f$ 在区间 $[0, c]$（$c > 0$）上连续、严格递增且 $f(0) = 0$，$f^{-1}$ 为其反函数，则对任意 $a \in [0, c]$ 与 $b \in [0, f(c)]$，有 $ab \le \int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{b} f^{-1}(y)\,dy$，等号成立当且仅当 $b = f(a)$。^[5][6]

数值形式可从积分形式导出：取 $f(x) = x^{p-1}$，其反函数为 $f^{-1}(y) = y^{q-1}$，积分形式随即化为 $\frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q} \ge ab$。^[6] 因此，通常所说的杨氏不等式既可指最一般的积分形式，也可指上述数值形式。

原理

杨氏不等式有直观的几何解释。在平面直角坐标系中，曲线 $y = f(x)$ 与其反函数曲线把以 $(0,0)$ 和 $(a,b)$ 为对角顶点的矩形分成上下两部分，两块曲边图形的面积分别等于 $\int_{0}^{a} f(x)\,dx$ 与 $\int_{0}^{b} f^{-1}(y)\,dy$，两者之和不小于矩形面积 $ab$。^[5]

一种常见证法利用对数函数的凹性。由于 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，$\frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}$ 可视作 $a^{p}$ 与 $b^{q}$ 的加权平均，依据琴生不等式有 $\ln\left(\frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}\right) \ge \frac{1}{p}\ln a^{p} + \frac{1}{q}\ln b^{q} = \ln(ab)$，两边取指数即得结论。^[2][7]

也可以直接求极值。对固定的 $p$、$q$ 构造 $g(x) = \frac{x^{p}}{p} + \frac{1}{q} - x$，由 $g'(x) = x^{p-1} - 1$ 可知 $g$ 在 $x = 1$ 处取得最小值 0，作适当代换后即得不等式。^[3] 当 $p = q = 2$ 时，它退化为 $ab \le \frac{a^{2}}{2} + \frac{b^{2}}{2}$，等价于常见的 $2ab \le a^{2} + b^{2}$。^[4][8]

在实际估计中还常用带参数的缩放形式：对任意 $\varepsilon > 0$，有 $|xy| \le \varepsilon |x|^{p} + \frac{(p\varepsilon)^{1-q}}{q}|y|^{q}$。它由数值形式经变量代换得到，便于把乘积拆成两项之和并分别控制。^[6]

发展历程

该不等式由英国数学家威廉·亨利·杨（W. H. Young）于 1912 年给出，相关结论发表在其论文《论可和函数的类及其傅里叶级数》中，刊于《Proceedings of the Royal Society》A 辑第 87 卷。^[9] 最初的证明附加了函数可微的条件，此后 McShane（1947 年）、Diaz 与 Metcalf（1970 年）、Bullen（1970 年）和 Nieto（1974 年）等人陆续给出了其他证明。

此后这一不等式被反复推广。1984 年给出了杨型不等式 $xy \le f(x) + g(y)$ 成立的充分必要条件，1989 年又出现了涉及可微函数单调性的推广形式。^[5] 与函数及其反函数积分相关的不等式还被推广到凸分析、算子理论和矩阵理论等方向。

应用

杨氏不等式最典型的用途是证明赫尔德不等式：把两个函数的乘积按共轭指数拆分，再逐项积分即可得到赫尔德不等式的范数形式。^[2][6] 它本身是加权算术—几何平均值不等式的特例，并在 $p = q = 2$ 时退化为柯西不等式。^[2][4]

在偏微分方程理论中，杨氏不等式常用来把非线性项拆成若干个幂次之和，从而对解的范数或先验估计进行分析。^[6]

把杨氏不等式用于函数时，可得到关于卷积的不等式。若 $f \in L^{p}$、$g \in L^{q}$，且指数满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}$，则 $\|f * g\|_{r} \le \|f\|_{p}\|g\|_{q}$。^[10] 该结果保证了滤波、模糊等平滑操作不会使信号能量发散，因而被用于信号处理、图像处理、通信与医学成像等领域。^[11]

局限

数值形式只在 $a$、$b$ 非负且 $p$、$q$ 为共轭指数时成立，等号成立的条件 $a^{p} = b^{q}$ 也较为严格。^[1] 在卷积形式中，当 $p$、$q$、$r$ 都大于 1 时，式中的最佳常数严格小于 1，直接采用常数 1 并非最优估计。^[12]

把不等号反向并不总是成立。反向杨氏不等式需要附加条件，例如在积分形式下要引入 $\min\{1, b/f(a)\}$ 之类的因子，否则无法得到 $ab$ 的下界。^[13]

参见

• 赫尔德不等式 —— 杨氏不等式常被用作证明它的工具。

• 闵可夫斯基不等式 —— 与杨氏不等式同属积分不等式体系中的基本结果。

• 琴生不等式 —— 借助对数函数凹性的证明要用到它。

• 柯西不等式 —— 杨氏不等式在 $p = q = 2$ 时退化为它。

• 卷积 —— 杨氏卷积不等式刻画的是卷积的范数估计。

• 威廉·亨利·杨 —— 该不等式的提出者。