有理根定理

定义

有理根定理针对的是整系数多项式方程的有理数解。设 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0，其中各系数 a_i 均为整数，且首项系数 a_n 与常数项 a_0 都不为零；若该多项式有有理根，把根写成最简分数 x=p/q（p、q 互素）后，必定有 p 整除 a_0，q 整除 a_n^[1]。

定理给出的整除条件只是必要条件，满足条件的分数需要逐个代回多项式检验，看其函数值是否为零^[4]。当首项系数为 1 时，分母 q 只能取 ±1，有理根必然为整数，这一情形称为整数根定理^[2]。

对于系数是有理数的多项式，可以先乘以各分母的公倍数化为整系数多项式，其根不变，因此只需讨论整系数情形^[5]。

原理

用符号表述，即对 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$（$a_i\in\mathbb{Z}$，$a_n\ne 0$），若有理数 $x=\frac{p}{q}$ 是它的根且 $\gcd(p,q)=1$，则 $p\mid a_0$ 且 $q\mid a_n$^[6]。把所有可能的分子与分母配对，候选有理根可统一写成 $\pm\dfrac{a_0\text{ 的因数}}{a_n\text{ 的因数}}$ 的形式，个数有限，从而把搜索范围从无穷多个有理数压缩为有限次检验^[7]。

证明思路是把根代入后消去分母。将 x=p/q 代入多项式并在等式两边同乘 q^n，可得到各项均为整数的等式；把常数项移项并提取公因式 p，可知 p 整除 a_0q^n^[6]。由于 p 与 q 互素，p 与 q^n 也互素，依据欧几里得引理便可断定 p 整除 a_0；把首项移到另一边并提取 q，同理可得 q 整除 a_n。

另一种证明借助本原多项式：先约去系数的公因数，有理根集合不变；若多项式在有理数域上含有一个一次因子，其本原代表为 qx-p，而整系数多项式 qx-p 的常数项与首项分别被 p、q 整除，结论随之成立^[8]。这一论证说明有理根定理是高斯引理（关于多项式在整数环与有理数域上因式分解的结果）的特例^[3]。

应用该定理的完整流程可以概括为下图，其中检验环节通常采用综合除法。

flowchart TD

A["写出整系数多项式"] --> B["列出常数项 a_0 的因数"]

A --> C["列出首项系数 a_n 的因数"]

B --> D["组合出候选分数 p/q"]

C --> D

D --> E{"代入多项式检验是否为零"}

E -- "是" --> F["确定一个有理根"]

F --> G["分解出相应一次因子并降低次数"]

E -- "否" --> H["排除该候选"]

H --> I{"候选是否已全部试完"}

I -- "否" --> E

I -- "是" --> J["多项式没有有理根"]

发展历程

有理根定理与高斯的名字相联系，其标准推导依赖整数环中的整除性质^[3]。更早的因式定理指出，若 f(a)=0，则 x-a 是 f(x) 的因式；据文献记载，笛卡儿提出了这一定理，从而给出了由根求得一次因式的方法，为利用有理根作因式分解提供了工具^[9]。

定理的成立依赖整数（或更一般的唯一分解环）中唯一分解的性质，即素数若能整除乘积，则它必整除其中一个因子^[10]。在现代代数中，该结论已被推广到最大公因子整环等更一般的环上，只要相应的整除条件成立，p 与 q 的整除关系依然保持^[11]。

应用

该定理最常用的场合是求整系数多项式的全部有理根：由常数项与首项系数的因数生成候选分数后逐个检验，找到根即可用多项式长除法分出一个一次因子并降低次数，候选全部落空则说明方程没有有理根^[1]。检验时常使用综合除法（霍纳方法），它在判断的同时给出降次后的商式^[12]。

对整系数三次方程，只要借助该定理找到一个有理根，就能把方程化为二次方程，再用求根公式求出另外两个根，从而避免处理立方根^[1]。

该定理也常用于证明某些数的无理性：√2 是 x²-2 的根，而该多项式的候选有理根只有 ±1、±2，逐一检验均不成立，故 √2 不是有理数。对于二次或三次整系数多项式，若所有候选根都不成立，便可断定它在有理数域上不可约^[13]。在中学数学与数学竞赛中，它主要用于猜测和检验多项式的根。

局限

定理给出的条件并不充分：落在候选列表中的分数未必是根，必须实际代入检验；若全部候选都不成立，只能说明该多项式没有有理根，并不能排除无理根或复根的存在^[4]。

当常数项和首项系数的因数较多时，候选列表会明显变长，逐一代入的计算量随之增加；实践中往往还要借助其他判别手段，例如爱森斯坦判别法等不可约性判据^[13][14]。

该定理的适用范围限于整系数多项式（有理系数多项式可先化为整系数），其成立依赖整数环的唯一分解性质；在缺少这一性质的一般环上，相应的整除结论不一定成立^[10]。

参见

• 高斯引理 —— 关于多项式在整数环与有理数域上因式分解的结果，有理根定理是它的特例。

• 本原多项式 —— 各项系数最大公因数为 1 的整系数多项式，是用高斯引理解释有理根定理时的基本概念。

• 欧几里得引理 —— 若素数整除乘积则整除其中一个因子，是定理证明中的关键整除性质。

• 因式定理 —— 说明根与一次因式之间的对应关系，与有理根定理配合用于多项式因式分解。

• 爱森斯坦判别法 —— 判定整系数多项式在有理数域上不可约的常用准则，可在有理根候选失效时使用。

• 代数基本定理 —— 说明 n 次复系数多项式在复数域内恰有 n 个根，是讨论有理根之外其余根的背景结论。