曲线系方程

定义

把共同具备某种性质的曲线集中起来，就构成曲线系，用来表示这一族曲线的方程称为曲线系方程^[6][4]。从形式上看，一个关于 x、y 的二元方程，只要在 x、y 之外还有尚未确定的常数出现，就属于曲线系方程^[1][2]。这个待定的常数就是参数，它的取值一变，方程对应的曲线也就随之改变；参数一旦确定，得到的就是一条具体的曲线^[1]。

常见的曲线系包括直线系、圆系、椭圆系与双曲线系等^[1]。处理经过两条已知曲线公共点的问题时，通常把曲线系方程写成 f1(x,y)+λf2(x,y)=0 的形式^[3][4]。这两条已知曲线既可以是直线，也可以是圆等曲线^[4]。

原理

设 f1(x,y)=0 与 f2(x,y)=0 分别是两条曲线的方程，二者相交于点 P(x0,y0)。因为 P 同时在两条曲线上，所以 f1(x0,y0)=0 且 f2(x0,y0)=0，代入后可得 f1(x0,y0)+λf2(x0,y0)=0，这说明方程 $f_1(x,y)+\lambda f_2(x,y)=0$ 表示的曲线必然经过点 P^[3][4]。λ 每取一个数值，就得到一条过 P 的曲线，这些曲线合在一起组成曲线系^[4]。

以圆系为例，经过两个已知圆 x²+y²+D1x+E1y+F1=0 与 x²+y²+D2x+E2y+F2=0 公共点的圆系方程可写成 $x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1+\lambda(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0$，其中 λ≠-1^[1][7]。λ=0 时该方程表示第一个圆本身；λ=-1 时二次项被消去，方程退化为一次方程^[1][5]。

退化所得的一次方程所表示的图形与两个圆的位置关系有关：两圆相交时它对应公共弦所在直线，两圆外切或内切时它对应公切线，两圆相离时它对应与两圆心连线垂直的直线，而两圆同心时这条直线并不存在^[1][7]。类似地，经过直线 Ax+By+C=0 与圆 x²+y²+Dx+Ey+F=0 公共点的圆系方程可写成 x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0^[1][7]。在圆锥曲线中，参数变化还能使椭圆型方程过渡为双曲线型方程，从而形成共焦点的曲线系^[1]。

发展历程

曲线的家族式表示出自解析几何对曲线族作系统刻画的需要，用带参数的方程把满足同一条件的一类曲线一并写出，可以简化几何问题的求解过程^[1]。

在中国中学数学教学中，曲线系方程作为解析几何的解题工具被逐步引入。2008年有文章讨论用曲线系方程解题的具体做法^[3]，2009年有文献对高中常见的曲线系方程作了系统整理^[6]，2015年的文章进一步讨论了它在解析几何中的应用^[2]。圆系方程等内容此后也被编入高中教材的探究栏目和高考复习学案^[7][5]。

相关研究仍在继续。有文献指出，2020年高考全国Ⅰ卷的解析几何试题借助曲线系思想处理，可以减少运算过程^[8]；2022年发表的论文则把曲线系方程法归纳到求曲线方程、判断斜率为定值、判断斜率和为定值等八类解析几何问题中^[9]。

应用

曲线系方程最直接的用途是求经过已知曲线公共点的曲线方程。以求经过两圆交点且圆心落在某条给定直线上的圆为例，可以先设出含参数的圆系方程，再把圆心坐标代入已知条件解出参数，从而不必先解方程组求交点^[7][5]。

在解析几何的综合问题中，这类方法也被用于求曲线方程、判断斜率为定值或斜率和为定值等八类问题^[9]。2020年高考全国Ⅰ卷的解析几何题同样可以用曲线系的思想来处理^[8]。与直接联立方程相比，恰当使用曲线系有助于提高解题速度^[4]。

经过直线与圆交点的情况，可以设出 x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，再利用圆的一般方程中二次项系数等方面的特征确定参数，用于求满足指定圆心位置或面积的圆^[1][7]。

局限

用单个参数写出的曲线系方程 f1(x,y)+λf2(x,y)=0，一般不能表示第二条已知曲线 f2(x,y)=0 本身。以经过两圆交点的圆系方程为例，其中并不包含第二个已知圆，使用时需要另行检验它是否满足题意，否则会出现漏解^[1][5][7]。

参数的取值也有限制。圆系方程要求 λ≠-1，因为 λ=-1 时方程不再表示圆，而是退化成一条直线^[1][5]。当两个已知圆同心时，退化所得的直线并不存在，这类情形需要单独讨论^[1][7]。

参见

• 解析几何 —— 曲线系方程所属的数学分支，用代数方程研究几何图形。

• 直线 —— 直线系方程所刻画的图形，也是退化情形下曲线系可能表示的图形。

• 圆 —— 圆系方程的讨论对象，经过两圆交点的圆系是常用形式。

• 圆锥曲线 —— 曲线系涵盖椭圆、双曲线与抛物线等曲线。

• 待定系数法 —— 使用曲线系方程解题时确定待定参数的常用思路。