旁心

定义

旁心是旁切圆的圆心。三角形某一个内角的平分线与另外两个顶点的外角平分线相交于一点，这个交点就是与该内角相对的旁切圆的圆心，即旁心^[1]。一个三角形共有 3 个旁心，通常统一用字母 J 表示^[1][2]。与旁心对应的是旁切圆，旁切圆与三角形的一边以及另外两边的延长线都相切，每个三角形同样有 3 个旁切圆。

旁心一定落在三角形外部，但它到三边所在直线的距离彼此相等，这个相等的距离就是相应旁切圆的半径^[3]。在三线坐标中，三个旁心的坐标分别是 −1∶1∶1、1∶−1∶1 与 1∶1∶−1，坐标中出现的负值正对应它们位于三角形之外这一特点^[4]。旁心的存在可以由角平分线的性质推出：三角形任意一个内角的平分线，与另外两个角的外角平分线必共点^[5]。

原理

以切于 BC 边、并与 AB、AC 延长线相切的旁切圆为例，设其圆心为 O，此圆与 BC 相切于 D，与 AB、AC 的延长线分别相切于 E、F，那么 OD、OE、OF 三条线段长度相等，因为它们是同一个圆的半径^[1]。此时圆心 O 处的角与顶角 A 之间满足 ∠BOC = 90° − A/2；反过来，若一点在 ∠A 的平分线上且满足上述角度关系，它便是 ∠A 所对旁切圆的圆心^[1]。

若记三角形面积为 S，三边为 a、b、c，半周长为 s，则与 a 边相对的旁切圆半径 $r_a=\dfrac{S}{s-a}$，另外两个旁切圆的半径可由三边轮换得到。同一个三角形的内切圆半径 r 与三个旁切圆半径之间还满足 $\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}=\dfrac{1}{r}$ 这一关系式。

旁心与内心的联系十分紧密：内心恰是三个旁心所成三角形的垂心，内心与三个旁心一起构成一个垂心组^[4]。内切圆和三个旁切圆都与九点圆相切，这些切点称为费尔巴哈点^[4]。把三个旁心两两相连得到的三角形称为旁心三角形，它的外接圆称为贝文圆，其半径等于原三角形外接圆半径的 2 倍^[3]。

发展历程

与三个对象同时相切的圆的作图问题在古典几何中已被研究，当给定的三个对象是三条彼此相交的直线时，满足条件的圆共有 4 个，即三角形的内切圆与三个旁切圆，它们的圆心分别是内心和三个旁心，这是阿波罗尼奥斯问题在三线情形下的特例^[6]。

从术语史来看，表示“旁切”的法文词 exinscrit 最早由瑞士数学家西蒙·吕利耶(Simon Lhuilier)使用，见于其 1809 年的著作《分析原理》(Éléments d'Analyse)；英文中 escribed 一词的通行则与 T. S. Davies 有关，1835 年的 Ladies' Diary 中已出现该用法^[5]。中文文献通常把旁切圆的圆心称为旁心，并统一记作 J^[2]。

1836 年，德国数学家克里斯蒂安·海因里希·冯·纳格尔发现，三个旁切圆与三边的切点分别同相对顶点相连，所得三条线交于一点，这个点后来被称为奈格尔点^[7]。旁切圆与九点圆相切这一结论（费尔巴哈定理）在 19 世纪又被多位几何学家重新证明，旁切圆的一系列性质也在这一时期的三角形几何研究中得到系统整理^[8]。

应用

在尺规作图与切线圆的构造中，旁心是常用工具。求作与三条给定直线同时相切的圆时，可以先作出三线两两所成角的平分线，其交点给出 4 个圆心，它们分别是内心与三个旁心；以圆心到任一直线的距离为半径作圆，即可得到全部 4 个解^[6]。

在三角形特征点的坐标研究中，旁心的三线坐标与重心坐标被用来推导奈格尔点、米滕点等特殊点，也用于证明内心、重心与奈格尔点共线一类的结论^[7][9]。

在几何竞赛题中，旁切圆半径公式以及旁心处的角度关系式常被用于面积、切线段长度和角度的计算，配合内切圆与半周长关系可以较快地完成求解。旁心坐标含有负值这一特征，也常被用来判断相关点位于三角形内部还是外部。

局限

内切圆与三个旁切圆之间并不都相切，因此这 4 个圆构成的一组图形，与要求四个圆两两相切的索迪圆构造并不等价，二者不能混为一谈。

当三条直线共点或互相平行时，不存在同时与三条线都相切的圆，相应的旁心与旁切圆也就无从定义，这属于三线相切问题中的退化情形^[6]。

旁心始终位于三角形外部，无法像内心那样直接充当形内特征点来使用；在重心坐标与三线坐标中，这一点通过某些分量取负值体现出来^[4]。

参见

• 内心 —— 三角形三条内角平分线的交点，与旁心同属与三边相切的圆的圆心。

• 旁切圆 —— 以旁心为圆心、与三角形一边及另外两边延长线相切的圆。

• 九点圆 —— 与内切圆和三个旁切圆都相切的圆，切点称为费尔巴哈点。

• 奈格尔点 —— 三个旁切圆与三边的切点同相对顶点连线的公共交点。

• 角平分线 —— 内角平分线与两条外角平分线的交点构成旁心。