惯性张量

定义

惯性张量是量度刚体绕某一个点转动时惯性大小的物理量，它是一个二阶对称张量，写作 9 个分量的方阵，其中独立的只有 6 个。^[2][1] 它的作用是把角速度与角动量两类矢量联系起来，运算方式不再是简单的标量相乘，而是矩阵与矢量相乘：$L_i=\sum_j I_{ij}\omega_j$。^[3]

方阵对角线上的 3 个分量分别是刚体绕 3 个坐标轴的转动惯量，例如 $I_{xx}=\sum_k m_k(y_k^2+z_k^2)$；6 个非对角分量称为惯性积，例如 $I_{xy}=I_{yx}=-\sum_k m_k x_k y_k$，其中负号属于历史惯例。^[1][3] 对于质量连续分布的物体，求和改为对体积的积分：$I_{ij}=\int_V \rho(x)\left(|x|^2\delta_{ij}-x_i x_j\right)dV$。^[3][5]

已知这 6 个分量与转轴的方向余弦，就能算出刚体绕通过该点的任意轴的转动惯量，即 $I=\mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n}$。^[6] 惯性张量各分量的量纲与转动惯量相同，为 ML²，在国际单位制中单位是 kg·m²。^[2]

原理

刚体绕定点转动的转动动能可以写成 $T=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}}\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}$，式中只出现角速度分量与惯性张量分量，说明动能对质量分布的依赖完全由惯性张量概括。^[7][8] 惯性张量只包含质量分布的二阶矩，因此自由刚体运动的细节形状并不重要，只要两件物体的二阶矩相同，抛出后的运动就相同。^[8]

该张量是对称的，$I_{ij}=I_{ji}$，总能通过一次坐标旋转把它化为对角形，对角元称主转动惯量，与之对应的 3 个互相垂直的方向称惯性主轴。^[3][6] 刚体当且仅当绕惯性主轴旋转时，角动量矢量才与角速度矢量共线，转动才能保持平稳而无晃动。^[6][3]

flowchart LR

A[刚体的质量分布] --> B[惯性张量 I]

B --> C[角动量 L = Iω]

B --> D[转动动能 T = ½ωᵀIω]

B --> E[对角化：主轴与主转动惯量]

惯性张量与参考点的位置有关，把参考点从质心移到别处后，全部与它相关的量一般都会改变，质心处的主轴变换也未必能使新参考点下的张量对角化。^[9] 柯西提出的惯性椭球以几何方式表示刚体绕通过同一点各轴的转动惯量分布，椭球的 3 条主轴即该点的惯性主轴。^[6]

发展历程

转动惯性的研究早于张量记法的出现。塞格纳(J. A. Segner)于 1755 年在《Specimen Theoriae Turbinum》中首先确立了主轴的存在；1758 年欧拉在两篇论文中重新导出这些结果，把固连于刚体的主轴引入刚体的一般动力学，并由此得到以主轴为参照的转动微分方程。^[10][11] 用于确定主轴的 3 次方程必有 3 个实根，这一点后来由拉格朗日证明。^[11]

1827 年柯西发表《关于转动惯量》(Sur les Moments d'Inertie)，引入惯量椭球，用它证明主轴的存在，并确定主轴方向与主转动惯量的大小，这一椭球因此又称柯西惯性椭球。^[12][6] 1834 年布安索(Poinsot)提出中心椭球与回转椭球，为刚体转动提供了直观的几何图像。^[12]

有文献指出，1846 年哈密顿(W. R. Hamilton)给出“惯性张量”这一名称，1858 年凯莱(A. Cayley)引入矩阵记法，使 9 个分量的运算得到简化。^[13] 20 世纪以后，它成为刚体动力学、多体系统动力学和姿态控制中的标准工具，并出现了并矢形式等不同表述；2002 年《物理与工程》刊登的论文即从转动惯量的传统定义出发，用并矢形式导出惯量张量，再反过来用张量定义转动惯量与惯性积。^[14]

应用

航天器姿态动力学以惯性张量为基本参数，控制器需要准确的惯性矩阵；在轨飞行中燃料消耗等因素会使质量特性改变，因此需要在线辨识。已有研究借助控制力矩陀螺施加激励、并用扩展卡尔曼滤波等方法估计惯性矩阵，主惯量的辨识误差可控制在 2% 以内。^[15][16]

地面试验中，三轴气浮台利用压缩空气在轴承与气浮球之间形成气膜，抵消重力后接近无摩擦环境，用于对整星级卫星做闭环物理仿真。有试验用台载飞轮施加激励、以激光陀螺测量角速度，对大型三轴气浮台的惯量矩阵与干扰力矩做联合辨识，转动惯量辨识的相对误差控制在 3.5% 以内。^[17]

在机械设计中，旋转部件常常绕任意轴转动，其平衡与稳定性取决于按该轴计算的转动惯量，因此需要借助惯性张量处理不沿主轴的转动。^[5] 在生物力学、化学和天文学中，惯性张量用于分析转动并推断物体内部结构，天体自转的稳定性就是其应用之一；自由刚体绕中间主轴的旋转不稳定，这一现象被称为网球拍定理。^[4][1]

局限

惯性张量是刚体模型的产物，适用于可当作刚体处理的物体；它的全部分量都与所选参考点绑定，参考点一旦移动，包括主轴、主转动惯量在内的量一般都要重新计算。^[9] 它只刻画质量分布的二阶矩，涉及物体势能的问题则与更高阶的矩有关，不能仅凭惯性张量判断。^[8]

实际测量同样受到限制。由角速度数据微分求角加速度会放大噪声，传统辨识方法在噪声较大时难以使用，需要改用只依赖角速度信息或带滤波的算法。^[17] 在轨辨识必须施加足够的激励：若航天器角速度为零，姿态动力学方程中不再包含惯性参数，估计问题不可观测。^[18]

惯性积的存在使各轴之间发生耦合，角动量一般不与角速度平行，绕某些轴转动时需要额外的力矩来维持，这也是旋转机械不平衡与晃动的来源之一。^[1][3]

参见

• 转动惯量 —— 惯性张量的对角分量，描述刚体绕某一条轴的转动惯性。

• 角动量 —— 惯性张量把角速度映射为角动量。

• 惯性主轴 —— 惯性张量对角化后对应的 3 个互相垂直的方向。

• 惯性椭球 —— 柯西提出的、表示刚体绕同一点各轴转动惯量分布的几何图形。

• 刚体 —— 惯性张量成立所依据的模型假设。