微积分电路

定义

按功能划分，微积分电路包括积分电路和微分电路两类。积分电路的输出信号与输入信号对时间的积分成正比，微分电路的输出信号则与输入信号的变化率成正比。^[2][4] 微分运算与积分运算互为逆运算，因此这两类电路常被放在一起讨论。^[2]

最简单的积分电路由电阻和电容串联组成，输出取自电容两端；最简单的微分电路同样由电阻和电容串联组成，输出取自电阻两端。^[3][4] 两者的差别主要在于元件取值条件和输出端位置的不同。^[3]

原理

对于由电阻和电容串联而成的电路，电路的时间常数等于电阻值与电容值的乘积，它决定电容充放电的快慢，也决定电路表现出微分还是积分特性。^[3] 当时间常数远小于输入矩形脉冲的宽度时，电容充放电很快，输入电压几乎全部降在电容上，电阻两端的输出电压与输入电压的导数成正比，电路呈现微分特性，输出为一正一负的尖脉冲。^[3]

当时间常数远大于输入脉冲宽度时，电容充放电缓慢，其两端电压近似等于输入电压对时间的积分，输入方波时输出为锯齿波或三角波。^[3][4] 工程上常把时间常数大于输入脉冲宽度若干倍作为积分电路的设计条件。^[1]

在有源微积分电路中，运算放大器引入负反馈，电阻与电容分别接在输入端和反馈回路上：电容位于反馈回路的构成积分器，电阻位于反馈回路的构成微分器。^[5][6] 依据虚短和虚断的分析方法，积分器输出满足 $u_o = -\frac{1}{RC}\int u_i\,dt$，微分器输出满足 $u_o = -RC\frac{du_i}{dt}$。^[7] 由于信号从反相端输入，输出与输入在相位上相差约 180 度。^[6]

发展历程

运算放大器最早以电子管形式出现，在 20 世纪 40 年代至 60 年代主要作为模拟计算机中的有源器件，担任加法、减法、积分等运算功能。^[8][5] 由运算放大器构成的积分器与微分器电路有较长的应用历史，其中就包括模拟计算机领域。^[9]

20 世纪 50 年代起，以运算放大器为核心的电路成为电子模拟计算机的基本组成单元，用于求解微分方程和模拟动态系统。^[5] 20 世纪 60 年代数字计算机兴起后，模拟计算机在仿真等场合逐渐被取代，到 70 年代通用模拟计算机的需求大幅下降。^[8][5]

应用

微积分电路常用于波形变换与波形产生，例如把方波转变为三角波或锯齿波，把矩形脉冲转变为正负尖脉冲。^[2][4] 微分电路可用于对复杂波形进行分离，积分电路则能突出输入信号中的直流和缓变分量。^[1]

在电视接收机中，微分电路用于从复合同步信号中取出行同步脉冲，积分电路用于分离场同步脉冲，后者利用了行、场同步脉冲宽度的明显差别。^[1] 积分电路还可用于在模数转换器中把电压量转换为时间量，以及在电子开关中实现延迟、移相等功能。^[4]

在自动控制系统中，积分和微分环节常被用作调节环节，积分用于累积偏差信号，微分对信号的快速变化作出反应。^[1][4]

局限

由电阻和电容组成的无源电路只能近似实现微分和积分运算，其近似程度取决于时间常数与输入信号脉宽之比，条件不满足时输出波形会明显偏离理想结果。^[3]

微分电路对输入信号中的高频成分敏感，会放大噪声，实际使用的微分级通常需要附加滤波来抑制这种放大，这也是模拟计算机设计者尽量改用积分器的原因之一。^[5]

基本微分电路还存在其他问题，例如输入信号发生阶跃变化或受到大幅值脉冲干扰时出现的阻塞现象，以及电容相移可能引起的自激振荡；实用电路会串联电阻以限制输入电流，并用稳压管限制输出幅度、用电容进行相位补偿。

参见

• 运算放大器 —— 构成有源微积分电路的核心器件，其反馈网络决定电路实现微分还是积分。

• 模拟计算机 —— 以积分器、微分器等为基本运算单元求解微分方程的模拟计算装置。

• 滤波器 —— RC 微积分电路在频域上分别对应高通和低通特性。

• 自动控制 —— 积分与微分环节在其中用于误差信号的调节。

• 模数转换器 —— 积分电路可把电压量转换为与之对应的时间量。