弹性应变能

定义

弹性应变能（elastic strain energy）又叫弹性变形能、应变能，指弹性体受外力作用发生变形后，因变形而储存在物体内部的能量。^[1] 在加载缓慢、变形过程中没有热量得失的条件下，外力所做的功会全部转为内能留在物体之中，这份能量来自物体形状与体积的改变。^[2] 由于弹性变形是能够完全恢复的过程，卸载后储存的弹性能可以毫无损失地释放出来。^[2]

单位体积所含的弹性应变能叫作弹性应变能密度，也称弹性应变比能。^[2] 与构件的应变能不同，应变能密度不依赖构件尺寸，只由材料所处的应力状态决定。^[2] 在一些力学著作中，单位体积储存的弹性能被称作回弹能，而单位体积所能储存的最大弹性能则称为弹性极限回弹能或回弹能模量，常用来衡量材料吸收弹性能的能力。^[3]

原理

弹性体发生变形时外力对它做功，这些功以能量的形式被储存起来。以简单拉压为例，线弹性材料的应变能可写成 $U = \frac{1}{2}V\sigma\varepsilon = \frac{1}{2}VE\varepsilon^{2} = \frac{V\sigma^{2}}{2E}$，其中 $V$ 是体积，$\sigma$ 是应力，$\varepsilon$ 是应变，$E$ 为弹性模量。^[4]

在三维应力状态下，弹性应变能密度可以分解为两部分：由体积变化贡献的体积改变能密度，以及由形状变化贡献的形状改变能密度。^[2] 对线弹性体而言，应变能是应变的二次函数，因此应变增大一倍时，储存的能量会变成原来的四倍。^[5]

对超弹性一类材料，应力可以直接由应变能密度对应变求导得到，写成 $\sigma = \partial W / \partial \varepsilon$。^[6] 这说明应变能密度函数相当于应力场的一个势函数，一旦确定它的具体形式，材料的应力与应变关系也随之确定。^[2]

能量的储存与释放过程可以概括为：

graph LR

A[外力对弹性体做功] --> B[弹性体产生变形]

B --> C[弹性能储存在物体内部]

C --> D[卸载后释放并对外做功]

发展历程

英国学者乔治·格林（George Green）最早提出，弹性材料的定义要求物质内部必须存在一个应变能密度函数，并且该函数充当应力场的势。^[7] 与之对应的定义式被称为格林公式，应变能密度函数也因此被看作弹性势函数。^[2]

19 世纪，围绕应变能发展出的能量方法逐渐成形。1889 年，恩格瑟（Friedrich Engesser）提出用余能表达的定理，当结构处于线弹性状态时，该定理与卡氏第二定理等价。^[8]

20 世纪，弹性能的释放被用来解释材料的断裂行为。里夫林（Rivlin）等最早把应变能释放率（也称撕裂能）作为表征橡胶断裂属性的参数，其定义为固定位移边界下系统总弹性应变能随裂纹面积增大而下降的速率。 此后，能量释放率与 J 积分成为断裂力学中衡量裂纹驱动力和材料断裂韧性的常用参量。^[6]

应用

应变能是固体力学中能量方法的基础。根据卡氏定理，把构件的应变能对某个力求偏导，就能得到该力作用点沿力方向的位移；功的互等定理、虚功原理、单位载荷法与摩尔积分法等也都以应变能概念为前提。^[9]

在断裂力学中，裂纹扩展被看作储存的弹性应变能不断释放的结果，其释放速率即能量释放率，可用来判断裂纹是否会继续扩展。^[6] 对橡胶等材料，这一参量通常称为撕裂能。

工程中，弹簧一类弹性元件通过变形储存弹性能，并在卸载时将其释放。^[1] 在土木与桥梁抗震领域，碟形弹簧、形状记忆合金弹簧等被用于自复位减隔震装置，借助弹性变形储存和释放能量，以减小地震作用后的残余变形。^[10]

局限

弹性能守恒的前提是变形完全可逆、过程中没有能量损耗。一旦应力超出弹性范围、材料进入塑性状态，卸载时只有一部分变形能够恢复，储存的弹性能也无法完全释放，其余部分转变成塑性功等其他形式的能量。^[2][11]

应变能与余能只有在材料为线弹性时才彼此相等，对非线性弹性材料两者一般不相等，因此用不同力学量表达能量时需要进行区分。^[8]

在弹塑性材料的裂纹扩展问题中，裂尖附近存在塑性卸载区，经典的 J 积分与弹性应变能释放率之间的关系不再严格成立，需要借助修正的能量积分或新的能量判据来描述裂纹扩展。^[11]

参见

• 应变 —— 描述物体变形程度的物理量，是计算弹性应变能的基本变量。

• 应力 —— 描述物体内部受力强度的物理量，与应变共同决定应变能密度。

• 弹性模量 —— 反映材料抵抗弹性变形能力的参数，出现在线弹性应变能公式中。

• 超弹性 —— 应力可由应变能密度函数导出的弹性材料模型。

• 能量法 —— 以应变能等能量量为出发点求解结构变形与超静定问题的一类方法。