对数平均值

定义

对数平均值用来描述若干正数的平均，最常见的是两个正数 x、y 的情形。当 x 与 y 不相等时，它等于两数之差除以两数自然对数之差；当 x=y 时其值取 x；当 x、y 中有一个为 0 时则约定取 0。^[1]

另一种等价的说法是：先把各观测值取对数，求这些对数的算术平均，再取反对数还原为原尺度上的数值，石油测井领域的术语表就采用这一表述。^[2]

中文资料通常把它写成 L(a,b)=(b-a)/(ln b-ln a)（a、b 为不相等的正数），并指出 a 与 b 相等时结果就是 a 本身，把它与算术平均、几何平均并列为常用的平均数。^[3]

原理

对数平均值可以由微分中值定理说明。把自然对数函数取作 f，在端点 x、y 之间存在一点 ξ，使 f 的导数在该处等于割线的斜率，即 1/ξ=(ln x−ln y)/(x−y)，解出 ξ 便得到对数平均值的表达式。^[1]

它也可以理解为指数曲线下方的面积，写成 $L(x,y)=\int_0^1 x^{1-t}y^{t}\,\mathrm{d}t$。由这一形式可看出它具备齐次性，即 $L(cx,cy)=c\,L(x,y)$；此外 $\frac{1}{L(x,y)}=\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{tx+(1-t)y}$ 也是常用的积分表示。^[4]

在数值大小上，调和平均不超过几何平均，几何平均不超过对数平均，对数平均又不超过算术平均；只有当两个数相等时，这些不等式才同时取等号。^[1]

有化学工程文献指出，只有当被平均的物理量沿自变量按指数规律变化时，采用对数平均值才有确切根据，并且可以证明符合这一要求的函数形式仅限于 y=ae^{bx}。^[5]

发展历程

1957 年 Ostle 与 Terwilliger 比较了两种平均值，1966 年 Carlson 讨论了超几何函数的一些不等式，这些较早的研究与对数平均相关的不等式问题有联系。^[1]

1974 年 Tung-Po Lin 考察了幂平均与对数平均之间的关系；1975 年 Stolarsky 给出对数平均的推广形式，把对数平均视为其中的一个特例；1987 年 Frank Burk 讨论了几何平均、对数平均与算术平均之间的不等式。^[1]

中文方面，1987 年《数学的实践与认识》刊登了讨论指数平均与对数平均的文章，研究了两类平均之间的关系。^[6]

应用

在换热器设计中，对数平均温差把两端温差按对数方式加权平均，用于计算传递一定热量所需的传热面积。两端温差越接近，算术平均与对数平均的差别越小；若用算术平均代替对数平均，会高估传热推动力。^[7]

对数平均温差法的基本式为 $q=UAF\Delta T_{\mathrm{lm}}$，其中 U 为总传热系数，A 为传热面积，F 为考虑流型与几何结构的修正系数。在相同工艺条件下，逆流布置的对数平均温差高于并流布置。^[8][9]

在化学工程的其它场合，对数平均值可用于估算反应器的操作条件，以及流体输送过程中的平均温度或压力差。^[3]

在能源与环境研究中，对数平均迪氏指数法把碳排放或电力消费的变化分解为经济规模、产业结构、能源强度等若干因素的贡献，被普遍用于分析碳排放的驱动因素。^[10][11]

在中学数学教学中，由对数平均值导出的不等式被用来处理导数题里的极值点偏移问题，成为构造对称函数等方法之外的一种解题思路。^[12]

局限

定义式要求两个数为正数且互不相等，遇到两数相等或其中一个为 0 的情形需要另行约定，因此它不能像算术平均那样对所有实数直接使用。^[1]

对数平均温差的推导建立在若干理想假设之上，例如系统处于稳态、流体物性保持不变、总传热系数沿传热面均匀、流动为单程并流或逆流。多数实际换热器并不完全满足这些条件，只能借助修正系数近似处理。^[8][7]

当温度曲线呈非线性，例如同时存在冷凝与过冷等过程时，不能直接对整个换热器套用对数平均温差，需要分段计算或改用加权形式。^[8]

由于对数平均只有在被平均量按指数规律变化时才有确切依据，有文献提醒不应不加判断地把它套用到任意场合。^[5]

参见

• 几何平均值 —— 与对数平均相互联系的平均值，对数平均介于几何平均与算术平均之间。

• 算术平均值 —— 对数平均的上界，两数相等时两者重合。

• 对数平均温差 —— 对数平均值在换热器传热计算中的典型形式。

• 调和平均值 —— 另一种常见平均值，与对数平均同处一组不等式之中。

• 对数平均迪氏指数法 —— 把对数平均用于因素分解的分析方法。