外积

定义

外积是对三维空间中两个向量的一种二元运算，运算结果仍是一个向量，通常记作 a×b，有时也写成 a∧b，以避免与字母 x 混淆^[2]。设两个向量的夹角为 θ（0° ≤ θ ≤ 180°），则外积的模等于两向量模长之积再乘以夹角的正弦，方向同时垂直于这两个向量，具体指向按右手定则确定^[2]。

在空间直角坐标系中，若 a=(x₁,y₁,z₁)，b=(x₂,y₂,z₂)，则外积的三个分量依次为 y₁z₂−y₂z₁、z₁x₂−z₂x₁ 与 x₁y₂−x₂y₁^[4]。这一结果也可以写成由单位向量和两个向量坐标组成的三阶行列式^[5]。两个向量共线时外积为零向量；反过来，外积为零向量也说明这两个向量共线^[6]。

「外积」在数学中并不只指一种运算。有资料指出，它既可以指叉积（external product），也可以指楔积（exterior product），还可以指张量积意义下的外积（outer product）^[5]。本词条介绍的是向量运算中的外积，也就是叉积或向量积。

原理

外积具有反交换性，交换两个向量的次序会使结果反向，即 a×b=−b×a；它对向量加法满足分配律，并与标量乘法相容^[6]。外积一般不满足结合律，(a×b)×c 与 a×(b×c) 通常是两个不同的向量^[6]。分配律、线性性与雅可比恒等式等性质使三维向量空间连同外积构成一个李代数，外积正是其中的乘法^[2]。

三个向量参与运算时，二重外积可用拉格朗日公式化简：a×(b×c)=b(a·c)−c(a·b)，等号右侧可以按 bac−cab 的顺序记忆^[2]。另一条常用关系是拉格朗日恒等式 |a×b|²=|a|²|b|²−(a·b)²，它把外积的模与数量积联系起来^[7]。

从几何上看，若两个向量不共线，外积的模等于以它们为邻边的平行四边形面积^[2]。三个向量的混合积(a×b)·c 的绝对值等于以这三个向量为棱的平行六面体体积，符号则取决于三向量的定向，构成右手系时取正值^[4]。

发展历程

外积今天使用的形式来自19世纪的向量分析工作。1773年，拉格朗日曾使用过与两个向量外积分量相当的量，但这种用法只是零散的^[8]。1843年，哈密顿发现四元数，四元数的乘法中自然包含了外积；1844年，格拉斯曼在《线性扩张论》中从几何考虑提出「几何积」，却没有把外积清楚地划分出来^[8]。

1881年，美国物理学家约西亚·威拉德·吉布斯在为物理学生编写的向量分析讲义中给出了沿用至今的外积形式，其思想来源是格拉斯曼与哈密顿的工作^[8]。1901年，吉布斯的学生威尔逊依据其讲稿整理出版向量分析教科书，该书长期被视为这一学科的代表教材^[9]。术语「内积」与「外积」也被认为源自格拉斯曼的研究^[9]。

19世纪后半叶，向量分析体系与四元数方法之间长期存在争论。吉布斯与亥维赛德所发展的方法最终占据主流，直到1910年前后，现代向量分析才在数学、物理与工程中被普遍接受^[10]。

应用

外积是描述转动现象的常用工具。物理学中，力对某点的力矩可以写成 M=r×F，角动量写作 L=r×p，磁场中运动电荷所受的洛伦兹力为 F=qv×B，安培力微元为 dF=Idl×B^[2]。教材中常借助支点所受的力矩问题引出向量积的定义^[11]。

在光学与计算机图形学中，外积被用于处理物体表面的光照问题，其关键在于求出表面法线；只要已知表面上两个不平行的向量，或者不在同一直线上的三个点，就可以借助外积得到法线^[2]。在三维图形与物理仿真中，外积还用于计算三角形的法向量、构建坐标系以及计算力矩等^[12]。

局限

外积只对三维空间中的向量有定义，运算结果同样是三维向量，二维空间中没有这种运算^[6]。在四维及更高维空间中，给定一个平面存在无穷多个与它垂直的方向，无法像三维那样由外积唯一确定出一个向量^[13]。

外积不满足结合律，因此书写多个向量相乘时必须保留括号^[6]。它的结果还依赖于坐标系的利手性，不同坐标系下可能不同，所以外积得到的是一个伪向量，而不是通常意义下的向量^[2]。

除三维之外，七维空间也可以定义叉积，它具有与三维情形相似的一些性质，但不再满足雅可比恒等式^[2]。在数学中，楔积能够自然地推广到任意维数，因而常被用作外积在高维情形下的替代形式^[14]。

参见

• 向量 —— 外积是定义在三维向量上的一种二元运算

• 数量积 —— 另一种常见的向量乘法，运算结果为标量

• 右手定则 —— 用于确定外积结果的方向

• 混合积 —— 由外积与数量积组合得到的量，可表示平行六面体体积

• 四元数 —— 外积概念的历史来源之一

• 伪向量 —— 外积结果在坐标系变换下的性质