合力矩定理

定义

在各力作用线相交于一点的平面汇交力系中，合力对力系所在平面内任意一点取矩所得的矩，与把各分力分别对该点取矩后相加的结果相等。^[1] 这一结论可以推广到各力作用线在同一平面内任意分布的平面任意力系：只要力系能够合成一个合力，合力对作用面内任一点取矩的结果，就等于力系内所有力分别以该点为矩心所得矩的代数和。^[2]

在空间力系中，定理以矢量形式表述：当力系可合成为一个合力时，合力对任意一点取矩得到的矩矢量，等于各分力对同一点取矩所得矩矢量的矢量和。^[3] 若把矩投影到某一根轴上，则得到对轴的形式，即合力对该轴之矩与各分力对该轴之矩的代数和相等。^[4] 力矩用来量度力使物体绕某一点或某一根轴转动的效应，单位为牛·米(N·m)或千牛·米(kN·m)。^[5]

原理

定理可以在力系向一点简化的过程中得到说明。按照力的平移定理，作用在刚体上各点的力都可以平行移到任意选定的简化中心，同时附加一个力偶，附加力偶矩等于原力对该简化中心之矩。^[6] 把各力的附加力偶矩相加即得力系对该点的主矩；当力系还能进一步合成为一个合力时，合力对简化中心取矩的结果恰好等于这个主矩，由此得到 $M_O(F_R)=\sum M_O(F)$。^[6][7]

在平面力系中，若以简化中心 O 为坐标原点、力系所在平面为坐标平面，设合力作用线与坐标轴的交点到 O 的距离为 x，可得 $x = M_O / F_R$；合力作用线到简化中心的垂直距离为 $d = |M_O'| / F_R'$，合力位于 O 点哪一侧由主矢方向与主矩转向共同确定。^[7] 空间力系对轴的合力矩定理可写成 $M_z(F_R)=\sum M_z(F_i)$。^[4]

定理与力系简化结果之间的关系可以概括为：

graph TD

A[刚体上的力系] --> B[向任一点 O 简化]

B --> C[主矢 F_R = ΣF]

B --> D[主矩 M_O = ΣM_O]

C --> E{力系能否合成为合力}

D --> E

E -->|能| F[合力矩定理成立]

E -->|不能| G[简化为力偶或力螺旋]

发展历程

对力矩概念及其运算规则的系统说明，通常归功于法国数学、力学家伐里农。^[8] 他在 1687 年的著作《新力学大纲》中给出了力矩的明确表述，并推导出力系合力之矩与各分力之矩之间的关系，即后来以他的姓氏命名的定理。^[9][10] 中文文献中该定理也称伐里尼翁定理、伐里农定理，对应的外文名称为 Varignon's theorem 或 theorem on moment of resultant force。^[11]

此后，力系简化与力偶理论逐步完善。比伐里农晚约一百年的法国力学家路易·班琐在 1803 年的《静力学原理》和 1834 年的《力偶转动新论》中系统讨论了力偶的性质，并提出刚体平衡要求合力与合力矩同时为零，使一般力系的分析框架趋于完整。^[12]

应用

在力学计算中，常见做法是先把待求的力沿便于计算的方位分解，再用定理把求原力之矩化为求各分力之矩，从而省去直接量取力臂的步骤。^[3] 例如求齿间压力对轮心的力矩时，可把该力分成圆周方向与半径方向两个分力，径向分力的作用线经过轮心、对轮心之矩为零，因此只需计算圆周分力对轮心之矩。^[3]

确定分布载荷合力的作用线位置是另一类典型应用。以受三角形分布载荷的水平梁为例，合力的大小等于载荷图的面积，由合力矩定理可算出合力作用线到分布最大一侧端点的距离为梁长的 2/3。^[6] 更一般地，垂直于某个平面的线分布力，其合力作用线通过载荷图的形心。^[13]

求物体重心和平面图形形心时也会用到该定理：以合力矩定理为依据，令总重力对某根轴的矩等于各微元部分对同一根轴的矩之和，即可解出重心坐标。^[14] 对于由若干简单图形组合成的物体，可以先分别求出各部分的形心位置和面积，再按力矩相等的关系合成整体形心。^[14]

局限

定理以力系确实存在合力为前提。若力系向一点简化后主矢为零而主矩不为零，力系只等效于一个力偶，此时不存在合力，也就没有合力之矩可供计算，定理不再适用。^[6]

空间一般力系的适用条件更为严格：只有当主矢与主矩相互垂直时，力系才能进一步合成为一个合力，此时合力矩定理成立；^[15] 当主矢与主矩成任意夹角时，力系最终简化为力螺旋，即一个力与一个与该力共线的力偶所组成的力系，它既不能用一个力等效替代，也不能用一个力偶等效替代，属于最简力系，同样不存在可供取矩的单一合力。^[15]

此外，定理只反映各力之矩与合力之矩之间的数量关系，并不能单独用于判断力系是否平衡。按力系简化理论，力系平衡要求主矢与主矩同时为零，仅凭各力对某点之矩的代数和为零不足以说明力系平衡。^[6]

参见

• 力矩 —— 力使物体产生转动效应的量度，是合力矩定理表述中的基本物理量。

• 力偶 —— 由两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系，没有合力，是定理适用范围的边界情形之一。

• 力的平移定理 —— 将力平行移动到任一点并附加力偶，是推导力系简化与合力矩定理的基础。

• 力螺旋 —— 空间一般力系简化后的最一般形式，不能化为单一合力。

• 重心 —— 可借助合力矩定理确定其位置。