十字交叉法

定义

十字交叉法针对的是二元混合体系中某一物理量的平均值与两组分比例之间的计算 ^[5]。设两组分该物理量的取值分别为 $a_1$、$a_2$，混合后的平均值记作 $\bar a$，两组分在混合物中所占份额为 $n_1$、$n_2$，则它们满足 $a_1 n_1 + a_2 n_2 = \bar a (n_1 + n_2)$ ^[1]。该式与 $n_1 + n_2 = 1$ 联立后构成一个 二元一次方程组，十字交叉法就是把这一方程组的解画成图式的表示方式 ^[2]。

当 $a_1$ 大于 $\bar a$、$\bar a$ 大于 $a_2$ 时，两组分的份额之比为 $n_1 : n_2 = (\bar a - a_2) : (a_1 - \bar a)$ ^[2]。图式的画法是把 $a_1$、$a_2$ 排在左侧上下两行，平均值置于中间，右侧写出行对应数值与平均值的差，两个差的比值即所求比例 ^[1]。

所得到的比值究竟表示质量之比、物质的量之比还是体积之比，取决于平均值所依据的基准量 ^[1]。平均值以摩尔质量为基准时对应物质的量之比，以质量分数为基准时对应质量之比，以物质的量浓度为基准时对应体积之比 ^[5]。

背景

十字交叉法最初出现在溶液的稀释与混合这类算术问题中 ^[3]。设两种溶液的质量分别为 $A$、$B$，溶质质量分数分别为 $a$、$b$，混合后为 $r$，根据混合前后溶质的总量不变可以列出 $Aa + Bb = (A+B)r$ ^[4]。

1990 年，《江苏教育》刊载的文章指出，此前这种方法多用于质量百分比浓度的计算，实际上它能够使许多化学计算题的步骤明显减少、解题速度加快，运用的关键在于先确定两个已知量之间的平均数值 ^[6]。此后它被逐步推广到更多类型的计算问题当中 ^[5]。

内容

运用十字交叉法通常经过判断、赋值、图解三个环节，即先确认题目是否属于二元混合体系的平均量问题，再确定两组分和平均值各自对应的数值，最后按图式求出比例 ^[7]。它可用于质量分数、平均相对分子质量、平均相对原子质量、平均分子式、反应热以及混合物反应等多类计算 ^[2]。

以溶液配制为例，若用质量分数为 10% 和 8% 的两种溶液配出 9% 的溶液，可把 9 放在中间、10 和 8 分列两侧，交叉作差后两侧各得 1，说明两者应当等量取用 ^[1]。在混合气体问题中，常温下测得乙烯与某未知气态烃的混合气体对氢气的相对密度为 12，即平均式量为 24，据此可判断未知烃为式量更小的甲烷，并求出其体积占混合气体的一半 ^[2]。

该方法只适用于二元混合体系，或可以化归为二元混合体系的平均值计算问题 ^[2]。平均值必须介于两组分对应的数值之间，作差时要用较大的数减去较小的数，以免出错 ^[4]。交叉相减所得的两个差值还需与左侧两个数值的含义一一对应，否则容易把质量之比与物质的量之比混为一谈；在需要求平均值或处理混合物反应时，改用守恒法往往更为方便 ^[2]。

影响与争议

2012 年，《化学教学》刊登的文章分析了该方法的原理，证明其中各项的含义以及所得结果与平均值分母的含义相同，并把使用过程概括为判断、赋值、图解三步 ^[7]。作者同时提出，这种方法并不是解题所不可缺少的，建议由学生自主探究得出 ^[7]。

围绕使用条件的讨论也比较多。《数理化解题研究》2012 年的文章梳理了常见的误用情形，并指出其原理来自二元一次方程组 ^[8]。中国知网的词条页汇集的多篇文献提到，有研究从数学角度分析用该方法解题时出现增解和漏解的原因，认为某例题的错解源于错误地采用了氢碳原子个数比，进一步分析还指出更深层的原因在于题目所给数据本身存在问题；另有文章指出，不少学生不清楚该方法的适用条件，因而难以建立有效的解题思路 ^[5]。

2014 年《江西化工》刊登的文章同样指出，许多中学生并不了解十字交叉法的原理，也不善于将它用于化学计算 ^[9]。该文对该方法的原理及其在化学计算中的用法作了剖析 ^[9]。

参见

• 加权平均数 —— 十字交叉法所处理的正是加权平均问题的逆运算。

• 二元一次方程组 —— 十字交叉法是这类方程组解法的一种图式化表达。

• 平均相对分子质量 —— 由混合气体的平均相对分子质量反推组分比例是典型用法。

• 质量分数 —— 溶液混合与稀释计算是该方法最早的应用场景。

• 反应热 —— 由平均反应热求两物质物质的量之比也是其应用之一。