加权算术平均数

定义

加权算术平均数是根据经过分组整理的数据计算的平均数，以各组变量值出现的次数即频数或频率作为权数进行加权计算^[1]。设原始数据被分成 k 组，各组的变量值为 $x_1, x_2, \cdots, x_k$，各组对应的权数为 $f_1, f_2, \cdots, f_k$，则加权算术平均数的计算公式为 $\overline{X} = \dfrac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \cdots + x_k f_k}{f_1 + f_2 + \cdots + f_k} = \dfrac{\sum_{i=1}^{k} x_i f_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i}$^[1]。

更一般的表述中，权数可以是任意一组非负实数 $w_1, w_2, \cdots, w_n$，加权算术平均数等于各观测值与其对应权数乘积之和，再除以权数总和，即 $A = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} v_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$，其中 $v_i$ 为各观测值，$w_i$ 为其权重^[4]。权重反映各观测值在平均数中的相对重要性或出现频率，权数之和须大于零以保证分母不为零^[5]。当所有权数相等时，加权算术平均数与简单算术平均数完全相同，因此简单算术平均数是加权算术平均数的一个特例^[3]。

原理

加权算术平均数的结果同时受两个因素影响，一是各组变量值的大小，二是各组权数的多少。在变量值固定的情况下，某一组的权数越大，该组的数值对平均结果的作用就越强，反之则越弱^[2]。频数之所以能起权衡作用，正是因为各组的频数不相等，这种差异是数据分布的客观反映^[6]。

当各组权数相等时，权数的作用消失，公式可化简为 $\overline{X} = \dfrac{f \sum x}{nf} = \dfrac{\sum x}{n}$，即退化为简单算术平均数^[6]。若用频率代替频数作权数，即权数之和为 1，则加权平均数可写成各变量值与其频率乘积之和，两种算法结果一致^[6]。以 10、10、10、15、15 五个观测值为例，10 出现 3 次、权数为 3，15 出现 2 次、权数为 2，计算均数时前者起 3/5 的作用、后者只起 2/5 的作用，结果不是 12.5 而是 12，偏向于权数较大的 10^[7]。

发展历程

平均数作为把若干观测值合并为单个代表值的做法有久远的历史。古印度数学家婆罗摩笈多是最早在统计学意义上明确提出算术平均数概念的学者之一，他将加权算术平均数用于估算深度各处不同的沟渠的平均深度^[8]。在其后的印度数学著作中，加权算术平均数的思想还出现在不同重量与纯度金块熔合后求纯金比例的混合类问题，以及把多笔不同本金与利息的投资折算为等价单一投资的问题中^[8]。

在近代统计与测量科学中，为不同测量结果赋予权重的做法逐步系统化。研究者引入一组称为权数的乘数，用以调整各观测结果对平均值的影响程度，得到的加权平均数只有在各权数彼此相等时才与直接平均数一致^[9]。随着统计学的发展，加权算术平均数的应用范围不断拓宽，在分组数据的集中趋势度量中成为基础工具。

应用

加权算术平均数主要用于处理经分组整理、编制成频数分布数列的数据^[1]。在经济统计中，它可用于按产量水平分组的地块计算平均亩产量，或在工资统计中衡量职工工资的一般水平^[6]。

在教育评价中，综合成绩常按各次考核的重要性分配权重后加权计算。例如某课程期中占 30%、期末占 50%、作业占 20%，若得分为 84、92、91，则加权后的综合成绩为 87.9 分，而简单平均会忽略期末考试更重要的地位^[10]。大学计算平均学分绩点(GPA)时，也以各门课程的学分数作为权数，学分多的课程对绩点影响更大^[11]。

在需要合并多组样本平均数时，若各样本含量不同且原始观测值不可得，可用各样本的相对观测数作为权数求加权平均数，从而把若干组平均合并为一个总体平均^[12]。在投资分析中，以各资产的投资金额或市值为权数，可计算组合的整体回报率，用简单平均会高估金额占比较小的资产的影响^[5]。

局限

加权算术平均数的大小依赖权数的设定，而权数有时由主观判断决定。经验性加权即依据个人判断赋予权重，本身存在较大难度，其结果也可能招致质疑^[9]。当权数发生变化时，平均结果会随之改变，因此权数方案的选择直接影响结论^[13]。

作为线性加权的聚合方式，加权算术平均数假设各分项的差异在任何位置都具有相同的意义，并以可加性为前提，无法处理分项之间存在交互作用的情形^[14]。在按组距数列计算时，若以组中值代替各组的实际组平均数，加权平均数只是近似值，因为组内数值完全均匀分布的情况难以成立^[6]。此外，由于利用了全部数据信息，平均数容易受到极端值的影响，个别特大或特小的数值会干扰平均数的代表性^[6]。

参见

• 算术平均数 —— 加权算术平均数在各权数相等时的特殊形式。

• 频数 —— 分组数据中常被用作权数的各组变量值出现次数。

• 几何平均数 —— 另一种集中趋势度量，常用于呈倍数关系的数据。

• 中位数 —— 位置平均数，受极端值影响较小。

• 平均学分绩点 —— 以学分作为权数的加权算术平均数的典型应用。