切向量

定义

切向量是切空间中的元素。设M是n维光滑流形，p为M上一点，记C∞(p)为在p的某个邻域内有定义的光滑函数组成的集合。若一个把每个这样的函数映为实数的映射X_p满足线性性 $X_p(\alpha f+\beta g)=\alpha X_p(f)+\beta X_p(g)$，并且满足莱布尼茨法则 $X_p(fg)=X_p(f)g(p)+f(p)X_p(g)$，则称它为一个导算子，也就是M在p处的一个切向量^[3][2]。M在p处全部切向量组成的集合记作T_pM，它是实数域上的n维向量空间，称为M在p处的切空间^[3][2]。

切向量还有多种彼此等价的定义。一种做法是把经过该点的曲线按在该点相切的关系归类，每一个等价类就代表该点处的一个切向量；另一种做法则从光滑函数沿某一方向求导数入手，把切向量看成求方向导数的算子^[1][2]。在欧几里得空间中，若曲线Γ由x=φ(t)给出，且φ′(t_0)存在且不等于零，则φ′(t_0)称为该曲线在点φ(t_0)处的切向量^[2]。

在p点附近取局部坐标(x_1,…,x_n)，各坐标方向的偏导算子∂/∂x_1,…,∂/∂x_n在p处取值，构成T_pM的一组基，于是切向量可写成 $X_p=X_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+X_n\frac{\partial}{\partial x_n}$，其中(X_1,…,X_n)是它的分量^[3]。切空间的维数等于流形本身的维数^[2][3]。

原理

切空间的作用是在一点附近把弯曲的流形换成一个线性空间，从而使线性代数与微积分可以在其上使用，这种做法常称为局部线性化^[5][6]。在n维欧氏空间中，一个切向量作用在光滑函数f上，给出沿该方向的方向导数 $\sum_{i=1}^{n}v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}$^[7]。

切向量与曲线的速度是同一件事的两种说法。设γ(t)是流形上过p的曲线且γ(0)=p，则 $Xf=\left.\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\right|_{t=0}$ 定义了一个切向量；反之，欧氏空间中任一向量都可以由某条曲线的速度实现^[7][3]。同一点处的切向量可以相加，也可以乘上实数，这使T_pM具有向量空间的结构^[8]。

mermaid\ngraph LR\n A[流形 M 上的一点 p] --> B[切空间 T_p M]\n B --> C[切向量 X_p]\n B --> D[余切空间 T_p* M]\n

把流形上各点的切空间作不交并，得到切丛TM，它是一个微分流形，维数等于原流形的两倍，其中的元素可写成(p,X_p)，并有自然投影π: TM→M^[3]。切空间的对偶空间T*pM称为余切空间，其中的元素是作用在切向量上的线性泛函，即余切向量^[3]。光滑映射F: M→N在p处诱导出切空间之间的线性映射F{*p}: T_pM→T_{F(p)}N，称为切映射^[3]。

在每一点的切空间上光滑地指定一个内积，就得到黎曼度量^[9]。有了这样的内积，才能谈论切向量的长度以及两个切向量的夹角^[10][9]。

发展历程

古典微分几何以曲线论和曲面论为主要内容，欧拉、蒙日和高斯被视为其奠基人^[4]。1827年，高斯发表《曲面的一般研究》，把曲面本身当作一个空间，用曲线坐标取代三维笛卡尔坐标，建立起曲面的内蕴几何，微分几何从此成为一门独立的学科^[11][4]。高斯还证明，曲面的总曲率完全由第一基本形式决定^[11]。

1854年，黎曼在哥廷根的就职演讲《论几何学基础的假设》中把高斯的工作推广到任意维数的空间，创立了黎曼几何，这成为近代微分几何的开端^[11][4]。为定义截面曲率，需要引进流形上过一点p的切空间，n维流形在p处的切空间是一个n维欧氏空间^[12]。这篇演讲的文本在黎曼逝世后的1868年才发表^[11]。

19世纪末，克里斯托菲与里奇等人把黎曼几何作为二次微分形式的不变式论来研究：克里斯托菲引入能对向量场进行微分的符号，里奇引入张量概念与协变微分，使不同点上的切空间得以互相联系^[11]。1916年，爱因斯坦把张量分析用于广义相对论，反过来推动了黎曼几何的传播^[11]。

1950年，上述观点被推广到纤维丛的联络论：黎曼几何可看作切丛上的联络论，而克里斯托菲符号就是各切空间之间的联络^[11]。在代数几何中，还出现了不依赖微分学的扎里斯基(Zariski)切空间，用于研究代数簇及其奇点^[13]。

应用

在力学与物理中，系统的构型常用流形描述，此时切丛代表速度空间，余切丛代表动量空间^[3]。黎曼几何在广义相对论中有重要作用^[4]。

在机器人学中，机器人的构型空间是一个流形，其完整状态可用切丛刻画。以四旋翼飞行器为例，位置与姿态属于旋转群与三维空间的组合，而平移速度与角速度则落在相应的切空间里^[14]。对李群这类既是群又是流形的对象，单位元处的切空间带有李代数结构，可以用线性对象描述连续的对称性^[3]。

在优化与机器学习中，当待求的参数被约束在球面或正定矩阵锥一类的流形上时，通常把欧氏梯度正交投影到当前点处的切空间，得到所谓黎曼梯度，再据此在流形上移动^[6]。

在测量数据处理中，也有人把误差方程看作流形，用近似值处的切空间代替流形本身来做平差计算；这类以切空间代替流形的近似一般称为局部线化^[5]。

局限

切空间本身只是一个向量空间，其上没有天然的范数或内积，所以单凭切向量无法谈论长度；要定义长度和夹角，必须另外指定一个度量张量^[10]。黎曼几何正是在每个切空间上光滑地给定内积之后才建立起来的^[9]。

只有同一点处的切向量才能相加，不同点处的切向量不能相加^[8]。各点的切空间虽然彼此同构，但这样的同构有很多，没有特别理由选定其中一个，因此在没有附加信息时，无法把一点处的切向量与另一点处的切向量联系起来^[15]。要比较不同点处的向量，需要联络、平行移动一类的结构^[11]。

切空间给出的只是流形在一点附近的局部线性近似，反映不了流形的整体形状^[6]。在代数几何中，若一点是代数簇的奇点，其扎里斯基切空间的维数会大于簇的维数，此时切空间不再对应通常意义上的切平面；反之，切空间维数等于簇的维数正是光滑点的判据^[16]。

参见

• 切空间 —— 一点处全部切向量构成的向量空间，切向量即其中的元素。

• 余切空间 —— 切空间的对偶空间，其元素是作用在切向量上的线性泛函。

• 切丛 —— 流形各点切空间的不交并，维数为原流形的两倍。

• 向量场 —— 在流形每一点光滑地指定一个切向量所得到的结构。

• 黎曼度量 —— 在每一点的切空间上光滑地指定内积，使切向量的长度可以度量。

• 李代数 —— 李群在单位元处的切空间，其上由李括号给出代数结构。