分层抽样法是概率抽样的一种，亦称类型抽样、分类抽样。做法是先把总体各单位按某一标志划入互不重叠的若干子总体，即层，再在每一层内独立随机地抽取一定数量的单位，合并成总样本。[1][2]由于层内各单位比较接近、层间差异被隔离在外，在样本量相同时它常能降低估计量的方差，并保证重要子总体在样本中有代表，因而广泛用于市场调查、医学研究和社会科学等领域。[3][4]
定义
分层抽样把总体划分为若干互不重叠的子总体，这些子总体称为层。分层的结果要求覆盖整个总体，层与层之间互不交叉，每个单位只能归入其中一层；划分依据称为分层标志或分层变量。设总体共 N 个单位，划分为 L 层，第 h 层的单位数为 $N_h$，$\sum_{h=1}^{L}N_h=N$；从第 h 层抽出 $n_h$ 个单位，$\sum_{h=1}^{L}n_h=n$。各层内的抽样彼此独立，层内可采用简单随机抽样或其他随机方式抽取。[5][1]
对总体均值的估计是把各层样本均值按层权加权平均，即 $\bar{y}_{st}=\sum_{h=1}^{L}W_h\bar{y}_h$，其中 $W_h=N_h/N$。该估计量是无偏的；在各层独立抽样的前提下，其方差等于各层估计量方差以层权平方为权的加权和，$V(\bar{y}_{st})=\sum_{h=1}^{L}W_h^2V(\bar{y}_h)$。若层内采用简单随机抽样，则 $V(\bar{y}_{st})=\sum_{h=1}^{L}W_h^2(1-f_h)S_h^2/n_h$，式中 $S_h^2$ 为第 h 层的总体方差，$f_h=n_h/N_h$ 为该层抽样比。[6][7]
背景
分层抽样的兴起与20世纪初关于“代表性方法”的争论有关。1925年前后，国际统计学会曾组织委员会讨论如何由局部资料推断总体，当时并存的两条思路是随机抽样与目的抽样，后者主张按若干控制变量挑选结构与总体相近的大单位作为样本。[8][9] 1934年，耶日·内曼在《皇家统计学会杂志》发表论文，把目的抽样当作随机抽样的一种特例来处理，指出其无偏性所依赖的条件在实践中常常不成立，并论证分层随机抽样更为可取，此后分层抽样逐步成为抽样调查的主流做法。[8]
分层抽样要解决的是简单随机抽样在总体内部差异悬殊时效率偏低的问题。当总体由若干性质不同的部分组成时，不加区分地抽选会因随机波动而偏向某些部分，达到给定精度往往需要更大的样本量；分层则利用关于总体结构的既有信息，人为控制样本落入各部分的数目。[3][1]
内容
分层的目标是使同一层内各单位尽量相似，不同层之间差异尽量明显；因此分层标志应当与所要研究的特征相关，常见的有性别、年龄、地区、教育程度和职业。如果所选的标志与所测变量没有实质关联，分层几乎不会带来精度上的好处。[2][3]
各层样本量的分配是分层设计的关键环节。比例分配要求各层抽取比例一致，$n_h=(n/N)N_h$，此时每个单位入样概率相同，加权估计退化为样本的简单平均，操作也最简便。[7][10] 奈曼分配同时考虑层规模与该层变量的标准差，$n_h\propto N_hS_h$，在总样本量固定的条件下使估计量方差最小，层内数值越参差不齐的层分到的样本越多。[7][6]
若各层调查一个单位的平均费用不同，最优分配在 $N_hS_h$ 之外再引入费用因素，令各层样本量与 $N_hS_h/\sqrt{c_h}$ 成正比，$c_h$ 为第 h 层的单位调查费用，从而在给定预算下取得较高精度。[10][3] 当某些层在总体中占比很小、又需要单独作出推断时，可以有意识地提高这些层的抽样比例，这种非比例分配会增加推断的复杂性。[1][4]
完整的实施流程通常包括选择分层标志、划定各层范围、确定总样本量并分配到各层、在层内独立抽取单位，以及先分层估计再汇总为总体估计。分层抽样把科学分组与随机抽选结合起来，优点是估计精度较高、能对各层单独作出估计、便于编制抽样框和组织调查；代价是必须事先掌握总体各层的规模与名单等资料，抽样手续比简单随机抽样繁琐。[1][11]
整群抽样与分层抽样的处理对象不同：分层抽样在每个层内都要抽出单位，层内单位通常较为相似；整群抽样以由若干单位组成的群为抽选对象，抽中哪一群就调查该群，未被抽中的群不作调查。[12][11]
影响与争议
内曼1934年的论文在恢复分层随机抽样主导地位的同时，把以群为单位的抽选与分层结合起来，为后来的多阶段概率抽样提供了理论起点。[8] 该文给出的最优分配后来被称为内曼分配（奈曼分配）；不过也有文献指出，最优分配的思路在此前约十年已由其他学者提出，内曼在论文中并未注明出处。[8]
内曼分配的效果取决于各层标准差的先验信息是否可靠。若这些信息不能反映总体的实际情况，或者调查需要同时估计多个变量、而各变量在各层的离散程度结构不一致，内曼分配的优势便会下降甚至不再适用，有研究据此认为它不适合多目的调查。[13][14] 后续工作还把无回答问题引入样本分配：层间回答率差异明显时，传统分配会低估估计量的方差；按层规模与层回答率联合分配的方案效率高于比例分配，在层间回答率差异较大时甚至优于内曼分配。[13]
内曼分配在实践中只能近似确定整数样本量，取整后总样本量可能与预定值不一致。2012年的一项研究指出，对取整结果加以控制并不总能得到使方差最小的分配，并把分层样本分配与按人口比例分配美国众议院席位的问题联系起来，给出了精确解。[15]
分层的思想随后被推广到抽样调查以外的许多场合，例如遥感影像的精度评估、生态与公共卫生调查，以及蒙特卡洛方法中的方差缩减和神经网络的训练点配置。[3] 但分层并非总能收效：如果所测变量在各层之间没有实质差异，分层估计的方差与简单随机抽样相同；分配不当还可能使方差变得更大。[3]
参见
参考资料
- 分层抽样法_百度百科 . baidu.com [引用日期2026-09-27]
- 分层抽样_会计百科 . esnai.cn [引用日期2026-09-27]
- 分层抽样 | Bohrium . bohrium.com [引用日期2026-09-27]
- 抽样方法之：分层随机抽样 . surveyplus.cn [引用日期2026-09-27]
- UNTERM - stratified sampling . un.org [引用日期2026-09-27]
- Math 408 - Mathematical Statistics . caltech.edu [引用日期2026-09-27]
- Introduction to Sampling Theory . ac.in [引用日期2026-09-27]
- Fienberg-Tanur-Neyman-Probability&Statistics-1995(PDF) . cmu.edu [引用日期2026-09-27]
- Document JFM 61.1310.02 . zbmath.org [引用日期2026-09-27]
- script(PDF) . nic.in [引用日期2026-09-27]
- 2018年中级经济师《经济基础》考点：几种基本概率抽样方法 . dongaoacc.com [引用日期2026-09-27]
- 分层比例抽样 . baidu.com [引用日期2026-09-27]
- K S CI - Browse > Article . koreascience.kr [引用日期2026-09-27]
- ciSereArtiView . kci.go.kr [引用日期2026-09-27]
- tandfonline.com 上的网页 . tandfonline.com [引用日期2026-09-27]
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最近更新：2026-09-27T15:13:24Z
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