内摆线是平面曲线的一种，指一个动圆在定圆内部滚动而不滑动时，动圆圆周上某一定点所划出的轨迹[1][2]。它与动圆在定圆外侧滚动的外摆线同属旋轮类曲线，曲线的尖点数目和整体形状由两圆半径之比决定，比值取 2、3、4 时分别退化为直线段、三尖瓣线和星形线[1][3]。内摆线的直线情形早在 13 世纪就用于天文模型，此后又进入齿轮、机构与工件加工等实用领域[4]。
定义
内摆线（hypocycloid）是一类平面曲线，它的产生方式是一个动圆在定圆内部滚动而不发生滑动，动圆圆周上某一固定点随滚动划出的轨迹就是内摆线[1][2]。动圆位于定圆之内，这与动圆沿定圆外侧滚动而形成的外摆线相对；两者被合称为旋轮类曲线[5]。曲线的具体形状由两圆半径之比决定，改变这一比值会得到形态差别很大的曲线[1]。
设定圆半径为 R、动圆半径为 r。当 R/r 为整数时，所得曲线是封闭的，其尖点数目与这个整数相等；当 R/r 为有理数 p/q（已化为最简分数）时，尖点数为 p；当 R/r 为无理数时，曲线永不闭合[1][4]。比值取 2 时轨迹退化为定圆的一条直径，这一情形称为图西双圆；取 3 时得到三尖瓣线，取 4 时得到星形线[3][6]。
原理
滚动过程中，动圆与定圆的接触点在两圆上扫过相等的弧长，这一不滑动条件决定了动圆上定点位置的变化规律[7][8]。取定圆中心为原点、让轨迹与定圆的一个交点落在 x 轴上，轨迹的参数方程可写成：$x=(R-r)\cos\theta+r\cos\frac{(R-r)\theta}{r}$，$y=(R-r)\sin\theta-r\sin\frac{(R-r)\theta}{r}$[7][1]。
动点转到定圆内壁、与接触点重合的位置时，它的瞬时速度为零，曲线在这些位置出现尖角即尖点，该处不可微分[8][1]。若所跟踪的点不在动圆圆周上，而是位于动圆之内或之外，划出的曲线称为长短辐圆（hypotrochoid），内摆线是它的一种特殊情形[1][9]。
同一条内摆线常常有两条生成途径：用一对半径为 R、r 的圆可以画出它，换成半径为 R 与 R−r 的一对圆滚动，得到的仍是同一条曲线，这一性质称为双生成[8]。因此在半径比为 2、3、4 等特殊取值下，同一条曲线往往对应不止一组圆[8]。
发展历程
内摆线中最早被讨论的是退化为直线段的二尖点情形。13 世纪波斯天文学家与数学家纳西尔丁·图西在《天文学大成》的注释中描述了这一构造，用两个圆运动的叠加得到直线运动，以此说明行星的视运动[4][10]。1966 年，肯尼迪(Edward Kennedy)为这一构造定名为图西双圆[6]。
1525 年，德国画家阿尔布雷希特·丢勒在关于圆规与直尺测量的著作中画出过长短辐外摆线一类曲线[9][4]。1674 年，丹麦天文学家奥勒·罗默在寻找理想齿形的过程中研究了这类曲线，并为之命名[9]。在欧洲文献中，「摆线」一词由伽利略在 1599 年提出，内摆线的名称是由它派生出来的[8]。
1570 年，意大利学者吉罗拉莫·卡尔达诺指出，当动圆直径恰为定圆的一半时，动圆圆周上的每一点都沿定圆的一条直径往返运动，德语文献因此把这种特殊内摆线称为卡尔丹圆[6]。此后拉伊尔证明了小圆圆周上的点沿直线运动，而圆内其他点沿椭圆运动，伯努利等人则继续研究了星形线等特例[11][9]。
应用
在机械传动中，摆线齿轮的齿廓由摆线组成：节圆外侧的齿冠取外摆线，节圆内侧的齿根取内摆线，这类齿轮早期用于钟表和精密仪器[12]。二尖点内摆线还提供了一种只依靠转动副就把连续转动变成往复直线运动的方式，19 世纪初怀特、默里等人曾据此设计蒸汽机[6]。
在机构与产品设计中，汽车车门开启时，投在地面上的平动直线所形成的包络线是星形线，按这一关系设计的车门开合可以节省空间[13]。有研究利用内摆线原理重新设计内燃机，以降低活塞对气缸壁的侧向压力[14]。圆在圆上滚动的模型也被用于滑块曲柄机构和转子发动机的设计[11]。
在制图与教学中，万花尺这类带齿轮的绘图工具可以画出内摆线和外摆线[1]。内摆线在一定几何条件下呈现的正多边形、正多角形等图形特征，还被用于工件加工、图样生成、搅拌作业和高阶停歇机构的设计[14][15]。
局限
内摆线的可用形态受两圆半径之比的限制。当该比值不是有理数时，曲线不闭合，动点永远不会回到出发位置，轨迹会逐渐填充定圆与半径 R−2r 的圆之间的环形区域，无法形成可反复复现的封闭图形[1]。曲线在尖点处不可微分，这使它在需要处处光滑齿廓的传动场合不宜直接采用[1][15]。
在传动方面，摆线齿轮对两轮中心距的要求较高，中心距偏离会使定传动比难以保证；加上齿形加工困难、制造精度要求高，其早期承载能力和传动精度都不易提高，曾一度被渐开线齿轮挤出主流应用[12]。
绘制内摆线的机械工具同样存在精度问题。这类工具依靠齿轮维持两圆半径的准确整数比，实际使用时很难长期保持这一条件，因而机械作图总会带有误差[16]。
参见
参考资料
- [科普中国]-内摆线 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- 内摆线 . baidu.com [引用日期2026-09-29]
- epfl.ch 上的网页 . epfl.ch [引用日期2026-09-29]
- Hypocycloid . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-旋轮类曲线 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- Tusi-Paare . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- umich.edu 上的网页 . umich.edu [引用日期2026-09-29]
- epfl.ch 上的网页 . epfl.ch [引用日期2026-09-29]
- Higher_Education_Research_Challenges_and_Practices(PDF) . mdpi-res.com [引用日期2026-09-29]
- 圆内螺线 . baidu.com [引用日期2026-09-29]
- springer.com 上的网页 . springer.com [引用日期2026-09-29]
- openfile . 89.108 [引用日期2026-09-29]
- Generation and application of hypocycloid and astroid . harvard.edu [引用日期2026-09-29]
- 滚出直线 . cqkjg.cn [引用日期2026-09-29]
- 内摆线的图形分类与应用研究-江苏建筑职业技术学院学报2017年01期-手机知网 . cnki.net [引用日期2026-09-29]
- 中華民國第55 屆中小學科學展覽會 . ntsec.gov.tw [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T11:30:46Z
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