偏态

定义

偏态用于刻画数据分布偏离对称的程度与方向。若随机变量的三阶中心矩存在,把它除以标准差的三次方,所得的无量纲数值即为偏态系数。由于不再带量纲,单位不同、量级不同的两组数据,其偏斜程度可以直接比较^[3]。

判断规则比较直观:数值等于零表示分布对称;大于零称为正偏或右偏,意味着均值右侧的取值数量较少,曲线右尾被少数较大值拖长;小于零称为负偏或左偏,左尾被少数较小值拖长^[1]。对相当数量的单峰分布来说,右偏时均值大于中位数、中位数大于众数,左偏时三者顺序相反,若三者相等则分布对称^[4]。

原理

最常用的定义是标准化的三阶中心矩:$Sk=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$,其中 $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$ 为随机变量的三阶中心矩,$\sigma$ 为标准差。取三次方的好处在于正负离差不会互相抵消,符号得以保留,所以该指标既反映偏斜的大小,也反映偏斜偏向哪一侧;再除以标准差的立方,则消去了计量单位的影响^[3]。

用样本估计总体偏态时,通常把样本三阶中心矩除以样本二阶中心矩的 3/2 次幂,所得称为 Fisher-Pearson 偏度系数^[5]。部分软件还会再乘上一个与样本量有关的修正因子,用以减少小样本下的偏差,当样本量增大时该因子逐渐趋近于 1^[2]。

graph LR

A["偏态 Sk"] --> B["Sk = 0 对称"]

A --> C["Sk > 0 正偏 右尾长"]

A --> D["Sk < 0 负偏 左尾长"]

发展历程

对偏斜分布的系统研究始于 19 世纪末。英国统计学家卡尔·皮尔逊在分析生物测量数据时发现,不少观测并不符合正态分布,他在 1895 年前后提出用偏态衡量分布的对称性,并给出了相应的偏态系数^[3]。此后由他建立的皮尔逊分布族以偏度和峰度作为分类参数,用于拟合形态各异的偏斜数据^[6]。

围绕如何度量偏斜,又陆续出现多种系数。皮尔逊偏态系数借助均值与众数或中位数的差距来度量偏斜;鲍莱系数改由上下四分位数与中位数的相对距离来刻画;矩偏态系数则直接使用三阶中心矩^[7]。这些系数各自的适用范围有限,其中基于矩的方法能够用于各类数据,一般性更强^[7]。

应用

偏态最常见的用途是配合峰度判断一组数据是否近似服从正态分布。实际做法是先算出样本的偏度和峰度及其标准误,再据此评估偏离正态的程度^[8]。一些常用的正态性检验统计量,正是把偏度与峰度组合起来构造的^[8]。

不少现实变量本身带有明显偏斜。收入、储蓄一类的数据中,少数极高值会把分布拉向右侧,形成右偏,此时均值被抬高,代表性反而不如中位数^[9]。为便于套用以正态分布为前提的方法,通常对右偏数据作对数变换、平方根或立方根变换,使分布趋于对称;对左偏数据则可用平方、立方等处理^[9]。

在财务分析和工程监测中也能见到偏态的应用。企业财务比率大多呈右偏,分析前往往先作变换使其接近正态^[10];电力系统中有研究依据故障电流波形的偏度系数,区分变压器励磁涌流与区内故障^[8]。

局限

偏态对离群值相当敏感。计算过程要用到均值和三阶矩,个别极端观测就可能明显改变偏度的数值,甚至使其符号发生反转^[8]。此外,偏态只描述分布的不对称性,并不反映峰部的尖平,后一特征需由峰度来刻画^[11]。

文献中偏度的定义并不唯一,除三阶标准化矩外,还有鲍莱(Galton)系数和皮尔逊第二系数等,不同定义得出的数值之间不能直接比较^[2]。软件在计算样本偏度时所采用的公式也不完全一致,例如是否施加样本量修正会带来结果差异^[12]。

均值、中位数、众数之间的顺序关系只在相当一部分单峰分布中成立,并非普遍规律,威布尔分布就是一个例外^[13]。当数据呈现多峰形态时,峰的数量也可能影响偏度的符号,使其不再适合作为偏斜方向的判据^[2]。

参见

• 峰度 —— 描述分布峰部尖平程度的数字特征,与偏态同属分布形态指标。

• 正态分布 —— 偏度为零的对称分布,是判断偏斜方向和程度的参照基准。

• 皮尔逊分布 —— 以偏度和峰度为参数、用于拟合偏斜数据的分布族。

• 正态性检验 —— 借助偏度、峰度等指标判断样本是否来自正态总体。

• 对数正态分布 —— 一种典型右偏分布,常用来描述收入等变量。

• 中心矩 —— 偏度由三阶中心矩经标准化后定义。