偏度是描述数据分布不对称方向和程度的数字特征，亦称偏态、偏态系数或歪度，英文为 skewness。它在数值上等于随机变量的三阶标准化中心矩：等于零表示数值在均值两侧的分布相对均匀，大于零为右偏，小于零为左偏，正态分布的偏度为零。由于均值与方差只能刻画分布的位置和离散程度，偏度被用于正态性检验、金融风险度量和洪水频率分析等场合。[1][2][3]
定义
偏度刻画概率分布围绕均值的不对称程度，是一个无量纲的数值。[1][4] 设 随机变量 X 的均值为 μ、标准差为 σ、三阶中心矩为 μ3，则偏度 $γ_1 = μ_3 / σ^3 = E[(X − μ)^3] / σ^3$。[2] 取值大于零时称为右偏或正偏，小于零时称为左偏或负偏，等于零则说明数值在均值两侧的分布相对均匀。[2][3] 正态分布的偏度恰为 0。[1]
对来自总体的样本，可用样本三阶中心矩 m3 与样本二阶中心矩 m2 构造样本偏度 $g_1 = m_3 / m_2^{3/2}$；这一形式在统计软件中常被称为 Fisher-Pearson 偏度系数，样本量较小时还可作偏差校正，得到调整后的标准化矩系数 $G_1$。[5][2] 样本偏度既可充当总体偏度的估计量，也常被用作检验总体是否服从正态分布的统计量。[6]
除矩方法之外，还有多种度量不对称的方式。皮尔逊用众数或中位数与均值的差异构造系数，如（均值−众数）除以标准差、3 倍（均值−中位数）除以标准差；鲍莱（Bowley）则以四分位数给出 $(Q_3 + Q_1 − 2Q_2) / (Q_3 − Q_1)$。[7][8] 中国国家统计局的统计业务知识把这类指标统称为偏态系数（SK），并列出皮尔逊偏态系数、鲍莱偏态系数与矩偏态系数等算法。[3]
原理
偏度的方向取决于三阶中心矩的符号。当分布左右对称时，均值两侧的正离差与负离差在取三次方之后彼此抵消，使公式的分子归零；分布不对称时这种抵消不再完全，分子的正负便显示出偏斜方向。[3] 由于三阶中心矩还带有量纲，再除以 标准差的三次方，就可消去计量单位与离散程度的影响，使不同数据的偏斜程度便于比较。[4][2] 偏度也可以写成三阶 累积量与二阶累积量 3/2 次幂之比。[2]
flowchart LR
A[三阶中心矩的符号] -->|正| B[右偏 正偏]
A -->|负| C[左偏 负偏]
A -->|零| D[两侧相对均匀]
从图形上看，右偏意味着概率密度曲线右侧的尾部比左侧更长，分布主体集中在均值左边；左偏则相反，左侧尾部更拖长而主体偏向右边。[2] 对常见的 单峰分布，右偏时一般有算术平均数大于中位数、中位数大于众数，左偏时三者的顺序相反，分布对称时三者相等。[1][7]
发展历程
19 世纪后期，统计学界普遍以正态曲线描述观测数据。英国统计学家 卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）于 1895 年前后系统讨论了偏斜分布，把均值与众数之差除以标准差作为不对称的度量，并给出以矩拟合数据的偏态分布族。[9][8] 他的工作表明许多实际数据无法用对称曲线刻画，从而使偏斜程度从文字描述变成可以计算的量。[10]
此后陆续出现其他度量方式。鲍莱在 1901 年提出以四分位距为基础的偏度系数，并在 1926 年给出相应形式；1964 年范兹韦特（van Zwet）提出用凸序比较两个分布偏斜程度的公理；1984 年格勒内费尔德（Groeneveld）与米登（Meeden）给出基于中位数的偏度指数。[8][11][12]
20 世纪以后，三阶标准化中心矩逐渐成为通行的定义，被写入统计学教材并进入统计软件，例如 SciPy 的 skew 函数即实现 Fisher-Pearson 系数及其偏差校正形式。[4][5] 由于经典矩偏度对离群值敏感，后来的研究又提出若干稳健测度，例如基于 洛伦兹曲线累积统计量的指标。[13]
应用
在描述统计与正态性检验中，偏度常与峰度一并使用，用来衡量数据分布偏离正态的程度；以三阶、四阶矩构造的 Jarque-Bera 检验即属此类。对冲基金月度收益等实际数据常因显著的偏度与超额峰度而拒绝正态假设。[14][15]
金融资产收益率的分布往往呈尖峰厚尾、左右不对称的形态，仅凭均值和方差不足以完整刻画，因此偏度、峰度被引入资产配置与风险度量。[16] 有研究以自回归条件偏度模型对期货收益的条件偏度建模，据此改进有偏分布下 风险价值（VaR）的估计精度。[17]
在洪水频率分析中，偏度系数是分布拟合的关键参数。美国采用的 Bulletin 17C 推荐用矩法以 皮尔逊III型分布 的对数形式拟合年最大流量序列，其右尾对应小超越概率的大洪水，估计结果直接受偏度影响；由于实测记录往往较短，站点偏度易受个别大洪水左右，实践中常把站点偏度与区域偏度加权后使用。[18][19]
在生态学中，个体大小、繁殖成功率等变量的不对称程度常用偏度刻画，强偏斜被认为与物种的种群过程相关。[13] 在群体比较研究中，矩偏度系数也曾与变异系数、基尼系数一起被用作不平等程度的度量指标。[20]
局限
偏度的经典定义依赖均值和三阶矩，因而对 离群值十分敏感：一个明显偏离的观测就可能把原本近似对称的样本变成高度偏斜，据此得出的判断会失真。[13] 此外，该指标在有限样本中的抽样波动较大，估计精度有限。[8] 为缓解这一问题，研究者提出了以中位数、分位数或洛伦兹曲线为基础的稳健偏度测度。[13][11]
偏度并非对所有分布都有定义。当分布尾部过重，三阶矩或三阶累积量不存在时，偏度的数值无法确定，这与偏度等于零是两种完全不同的情形。[2]
偏度等于零只表明数值在均值两侧的分布相对均匀，并不保证分布一定对称；均值等于中位数同样只是对称的必要条件而非充分条件，所以判断对称性还需结合图形或其他方法。[2][21]
均值、中位数与众数的排序在部分分布上并不成立，单峰的 韦布尔分布即属例外；皮尔逊基于众数的系数也不满足用于比较偏斜程度的凸序条件。[12][22] 而且，用偏度系数检验不对称通常以样本相互独立、服从正态分布为前提，当数据存在波动聚集或明显非正态时，仅凭该系数判断并不可靠；不同偏度指标的取值范围与尺度互不相同，也不宜跨指标直接比较。[23][24]
参见
参考资料
- 图文详情——科普中国资源服务 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- 偏度 . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- 偏态系数 . stats.gov.cn [引用日期2026-09-29]
- 知识丛林 . sdut.edu.cn [引用日期2026-09-29]
- skew# . scipy.org.cn [引用日期2026-09-29]
- 样本偏度_知网阅读 . cnki.net [引用日期2026-09-29]
- Skewness - Chapters and Articles . sciencedirect.com [引用日期2026-09-29]
- Finite population inference for skewness measures . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-偏差系数 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- 520 . nature.com [引用日期2026-09-29]
- arxiv.org 上的网页 . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- Nonparametric_skew . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- arxiv.org 上的网页 . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- GrahamWhitePaper09(PDF) . opalesque.com [引用日期2026-09-29]
- 【R语言实战】——金融时序分布拟合 . aliyun.com [引用日期2026-09-29]
- htsc.com.cn 上的 PDF 文件 . htsc.com.cn [引用日期2026-09-29]
- 有偏分布下的VaR估计方法研究 . bit.edu.cn [引用日期2026-09-29]
- usgs.gov 上的网页 . usgs.gov [引用日期2026-09-29]
- Log-Pearson Type III Distribution Fitting Procedure . txdot.gov [引用日期2026-09-29]
- NSTL回溯数据服务平台 . nstl.gov.cn [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T12:54:29Z
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