余式定理（Polynomial remainder theorem）是多项式除法中的一条基本定理：一元多项式 f(x) 除以一次多项式 x − a 时，所得余式等于把 x = a 代入该多项式得到的值 f(a)。它由多项式的带余除法导出，使人不必写出完整除法过程即可求出余数，并由此得到判断一次因式的因式定理，是求多项式值、因式分解和求解高次方程时常用的工具[1][2]。
定义
余式定理说的是：设 f(x) 为多项式，a 为常数，用一次多项式 x − a 去除 f(x) 时，所得余式是一个常数，这个常数等于 f(a)[1][3]。
定理还可以换一种说法：把除式的零点代入被除式，算出的值便是余式。因此，求 f(x) 除以 x − a 的余数与求函数值 f(a) 是同一件事[4][3]。
因式定理是它的特殊情形：x − a 为 f(x) 的因式，与 f(a) = 0 互为充要条件[5]。
结论可以推广到一般情形：若 f(x) = M(x)Q(x) + R(x)，且 R(x) 的次数低于 M(x)，则除式为一次式时 R(x) 是常数；除式为 2 次以上时，余式须借助除式各个根处的取值列方程确定[1]。
原理
余式定理依托多项式的带余除法。给定被除式 f(x) 与除式 g(x)，存在唯一的商式 q(x) 与余式 r(x)，满足 f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中 r(x) 为零多项式，或其次数小于 g(x) 的次数[6]。
$f(x)=(x-a)\,q(x)+r,\qquad r=f(a)$[6]
当除式取 g(x) = x − a 时，除式次数为 1，余式的次数必须小于 1，因此它只能是常数，记作 r，于是有 f(x) = (x − a)q(x) + r。把 x = a 代入右端，含因式的第一项变为零，等式化为 f(a) = r，这就说明余数等于 f(a)[6][3]。
除式不是首一的一次式时同样可以处理：用 ax + b（a 不等于 0）去除 f(x)，余数等于 f(−b/a)。也就是说，只要知道一次除式的零点，把该零点代入被除式即可得到余数[3]。
flowchart TD
A[写成带余除式 f(x)=g(x)q(x)+r(x)] --> B[取一次除式 g(x)=x-a]
B --> C[余式 r 必为常数]
C --> D[代入 x=a 得到 r=f(a)]
发展历程
余式定理以法国数学家裴蜀（Étienne Bézout，1730—1783）命名，英文文献中常称其为小裴蜀定理。裴蜀主要研究代数方程与消元理论，曾在海军和炮兵学校担任数学教师与考试委员，并编写了多卷本的数学教程[7][8]。
从来源看，该定理是多项式欧几里得除法的一项应用：带余除法保证了商式与余式的存在性和唯一性，而余式定理正是把这一结果用于一次除式时得到的结论[8]。
作为余式定理的推论，因式定理后来被普遍使用。当多项式已知一个或几个零点时，可以先用因式定理确认相应的因式，再用除法去掉这些因式，得到次数更低的多项式，它的零点正是原多项式剩下的零点，求根过程因此得到简化[4][5]。
在计算手段上，一次除式的情形可以用综合除法求商式与余数，它是鲁菲尼法则的推广，书写量小于一般的长除法；多项式的求值也可以按霍纳法完成，其思路与上述过程一致[9]。
应用
最直接的用途是求余数和求值：需要知道 f(x) 除以 x − a 的余数时，不必做长除法，只要求出 f(a) 即可；反过来说，用综合除法完成这一步除法，所得余数就是 f(a)[2][6]。
在因式分解与整除判断中，余式定理通过因式定理发挥作用：先设法找出多项式的一个零点，确认对应的因式，再用长除法或综合除法把该因式分离出来。熟练之后可结合试根法与待定系数法，较快地完成分解，也可以用来判断多项式能否分解[5][4]。
解方程时同样会用到它：判断某个数是否为方程的根之后，可以逐次降低方程的次数，使高次方程便于求解；当多项式的部分系数未知、但已知若干余数条件时，也可以由余式定理列出方程，解出待定的系数[4][10]。
在中学教学和各类入学考试中，余式定理常被用来避免繁琐的多项式长除法。例如求多项式除以 x − 1 或 2x + 1 的余数时，把 1 或 −1/2 代入计算即可得到结果[10]。
局限
余式定理有明确的适用范围：它只处理一次除式，并且除式要写成 x − a 这样的首一形式。有关教材在介绍该定理时特别提醒，除式不具备这种形式时不能照搬结论[11]。
定理只给出余式，不涉及商式。若同时需要商式，仍要借助多项式的长除法或综合除法；相关教材也指出，该定理关于商式不提供任何信息[11][8]。
当除式为 2 次或更高次时，余式不再是常数，定理不能直接给出结果，需要把除式的各个根代入被除式、列出联立方程才能求出余式；这种做法在除式为某个多项式的幂次时并不适用[1]。
此外，定理本身并不提供求根的一般方法。要用因式定理分解因式，仍须先设法找出多项式的一个零点，若找不到可用的零点，这一途径便无法继续[4]。
参见
参考资料
- 余式定理 . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-余式定理 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- ◎→餘式定理與因式定理←◎ . ntnu.edu.tw [引用日期2026-09-29]
- 余式定理 . baidu.com [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-因式定理 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- \quad \frac{5x^2 + 4x - \frac{5}{2}} \\ . harvard.edu [引用日期2026-09-29]
- Étienne Bézout . st-andrews.ac.uk [引用日期2026-09-29]
- Polynomial remainder theorem . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- Polynomial . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- 2019考研管综初数知识点解析-余式定理进入阅读模式 . offcn.com [引用日期2026-09-29]
- \[P(\alpha) = 0\times Q(\alpha) + r\] \[= r\] . archive.org [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T07:28:56Z
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