七二法则

定义

七二法则给出的是一个近似结果：把每年的复利增长率（以百分数表示）当作除数去除 72，所得的商就是本金翻倍大致所需的年数。算式也可以倒过来用，拿 72 除以打算翻倍的年数，就能估算出需要多高的年回报率。^[1]

式中的利率必须按复利口径理解，也就是每一期产生的利息在下一期同样参与生息。该法则只提供概数，无论是算出的年限还是反推的利率，都不精确。^[1]

相同思路还能用于衰减的情形：把相应数字除以通货膨胀率，可以得到货币购买力减半所需的时间。金融学中与 72 并列的还有 70 法则、69.3 法则等，做法完全一样，只是所用分子不同。^[2]

原理

设本金为 P，每期利率为 r，期数为 t，则复利终值为 $(1+r)^t × P$。翻倍意味着终值等于本金的 2 倍，把 $(1+r)^t = 2$ 解出来，可得精确的翻倍期数 $t = ln2 / ln(1+r)$。^[3]

当 r 数值很小时，泰勒级数给出近似关系 $ln(1+r) ≈ r$，而 $ln2$ 约等于 0.693147，于是翻倍期数约为 $0.693/r$；换成百分数表达，就是约 69.3 除以利率的数值。法则的近似正是由此而来。^[4]

分子之所以常用 72 而非 69.3，是因为 72 的小因数较多，包括 1、2、3、4、6、8、9、12，便于整除和口算；在按年复利、利率处于常见范围时，它也比 69.3 更接近真实结果。^[4]

发展历程

已知最早的书面记载见于意大利数学家卢卡·帕乔利(Luca Pacioli)1494 年在威尼斯出版的《算术、几何、比与比例概要》。他在书里把它当作供商人使用的实用方法提出，用来估计投入的资本在多长时间后翻倍。^[3]

帕乔利举的例子是年息 6%：用 72 除以 6 得到 12，也就是说资本在 12 年后翻倍。他没有说明 72 这个数字的来历，也没有给出任何推导过程。^[5]

由于书中缺少推导，后来的研究者一般认为，这类算法在帕乔利成书之前已经在商人和钱商之间使用，他只是将其记录成文。此后数百年间，它一直是需要快速估算复利效果时使用的手工方法。^[6]

应用

最常见的用法是估算投资翻倍所需的时间。年回报率为 8% 时，72 除以 8 得到 9，即约 9 年翻倍；年回报率为 12% 时，约 6 年即可翻倍。^[7]

反过来，把 72 除以计划年限，可算出达到翻倍目标所需的收益率。若希望 10 年内让资金翻倍，则需要约 7.2% 的年回报率。^[1]

同样的算法可用于债务与物价。按 18% 的利率计息时，欠款大约 4 年就会翻倍；通货膨胀率为 3% 时，货币购买力约 24 年后减半，若通胀率为 3.5% 并按 70 法则计算，则约为 20 年。^[1]

投资费用同样会拉长翻倍时间。年回报率 8% 若被扣除 2% 的费用，净回报降到 6%，翻倍所需时间就从 9 年延长到 12 年。^[8]

凡属指数式增长的量都可套用这一方法，例如人口年增长 2% 时约 36 年翻倍，经济体年增长 3% 时约 24 年翻倍。有分析据此推算，年均增速为 10% 时中国经济约 7 年翻一番。^[7]

局限

七二法则得出的只是近似值，当年收益率大致处在 6% 至 10% 之间时，结果比较接近准确答案。^[4]

利率偏离这一区间越远，偏差就越大，有资料估计区间之外的误差约为 2.4% 至 14%。通常的做法是利率每偏离 8% 三个百分点，就把分子相应增减 1，以提高精度。^[4]

在利率很低或按连续复利计算的情形下，使用 69.3 或 70 会比 72 更接近真值；若要估算翻倍以外的其他倍数，也需要改变分子，不能直接沿用 72。^[4]

这一方法成立的前提是增长率在整个期间保持不变，并且按复利计息。如果各期收益率上下波动，或者采用单利计算，估算结果会明显偏离实际情况。^[3]

参见

• 复利 —— 利息计入本金继续生息，是七二法则得以成立的前提。

• 卢卡·帕乔利 —— 意大利数学家，现存最早记载该法则的文献出自其著作。

• 通货膨胀 —— 用同一算法可估算物价上涨使货币购买力减半所需的年数。

• 泰勒级数 —— 该法则由复利公式经对数变换并用泰勒近似推导得到。

• 指数增长 —— 七二法则描述的是这类增长下数量翻倍所需的时间。